odchylenie standardowe - dowodzenie twierdzenia

[forsaken]

Niech \(\displaystyle{ x _{1}}\) oznacza średnią arytmetyczną liczb a, b, c. Uzasadnij, że odchylenie standardowe zestawu trzech liczb
\(\displaystyle{ a - x _{1}, b - x _{1}, c - x _{1}}\) jest takie samo jak odchylenie standardowe zestawu liczb a, b, c.

przestawiłam sobie te zależności w postaci wzorów, tzn.
\(\displaystyle{ x _{1} = \frac{a+b+c}{3}

\partial _{1} = \sqrt{ \frac{a ^{2} + b^{2} + c^{2} }{3} - (x _{1}) ^{2} }

x _{2} = \frac{a - x _{1}+ b - x _{1} + c - x _{1} }{3}

\partial _{2} = \sqrt{ \frac{(a - x _{1}) ^{2}+ (b - x _{1}) ^{2} + (c - x _{1} )^{2}}{3} - (x _{2}) ^{2} }



\partial _{1} = \partial _{2}}\)

próbowałam to przekształcać na kilka sposobów ale mi nie wyszło, proszę o pomoc, z góry dziękuję

[kuch2r]

Mamy próbę \(\displaystyle{ a,b,c}\).
Wiemy, że
\(\displaystyle{ x_1=\frac{a+b+c}{3}}\)
Wówczas wariancja z próby jest postaci
\(\displaystyle{ D^2X=\frac{1}{3}\left((a-x_1)^2+(b-x_1)^2+(c-x_1)^2 \right)}\)
Dalej dla próby \(\displaystyle{ a-x_1,b-x_1,c-x_1}\)
Wówczas
\(\displaystyle{ x_2=\frac{a+b+c}{3}-x_1=0}\)
Stąd
\(\displaystyle{ D^2Y=\frac{1}{3}\left((a-x_1-x_2)^2+(b-x_1-x_2)^2+(c-x_2)^2 \right)}\)