\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 0\quad x\leqslant0\\ x\quad 0<x\leqslant1\\ 2-x\quad 1<x\leqslant2\\0\quad x>2\end{cases}}\)
Witam otrzymałem na egzaminie taką gęstość i nie mam pojęcia jak sie za to zabrać Trzeba tu wyznaczyć dystrybuante EX, \(\displaystyle{ D^{2}X}\), Mo, Me. Największy problem sprawia mi sprawdzenie czy podana funkcja jest gęstością, wyznaczenie dystrybuanty+wykres dystrybuanty, z reszta sobie poradze. Za wszelka pomoc z góry dziękuje.
zmiena losowa ciagla
-
soku11
- Użytkownik
- Posty: 6607
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
zmiena losowa ciagla
Zmienna jest ciagla (widac po wykresie - trojkat). W zwiazku z tym wszystkie operacje beda opierac sie na calkowaniu.
Aby sprawdzic czy funkcja jest gestoscia, trzeba sprawdzic, czy pole pod wykresem jest rowne 1. Nie ma wiekszego sensu liczyc to calka, gdyz odrazu widac, ze pole tego trojkata jest wlasnie 1.
Wzor na dystrybuante:
\(\displaystyle{ F_X(x)=\int\limits_{-\infty}^{x} f_X(t)\mbox{d}t}\)
Teraz zauwazamy, ze trzeba ja rozbic na 4 przedzialy, zgodnie ze wzorem gestosci:
\(\displaystyle{ F_X(x)=\begin{cases}
0,\;\;x\le 0\\
\int\limits_{0}^{x}t\mbox{d}t,\;\; 0<x\le 1\\
\int\limits_{0}^{1}t\mbox{d}t+\int\limits_{1}^{x}(2-t)\mbox{d}t,\;\; 1<x\le 2\\
1,\;\;x>2
\end{cases}=
\begin{cases}
0,\;\;x\le 0\\
\frac{x^2}{2},\;\; 0<x\le 1\\
\frac{1}{2}+2x-\frac{x^2}{2}-2+\frac{1}{2},\;\; 1<x\le 2\\
1,\;\;x>2
\end{cases}=
\begin{cases}
0,\;\;x\le 0\\
\frac{x^2}{2},\;\; 0<x\le 1\\
2x-\frac{x^2}{2}-1,\;\; 1<x\le 2\\
1,\;\;x>2
\end{cases}}\)
Domkniecia nie maja tutaj znaczenia, gdyz zmienna jest ciagla (nie robi to roznicy w liczeniu calki).
Wartosc oczekiwana wyznacza sie wprost ze wzoru, czyli:
\(\displaystyle{ EX=\int\limits_{0}^{1}x^2\mbox{d}x+\int\limits_{1}^{2}x(2-x)\mbox{d}x}\)
Wariancja, to znow kolejny wzor:
\(\displaystyle{ D^2X=VX=EX^2-(EX)^2\\
EX^2=\int\limits_{0}^{1}x^3\mbox{d}x+\int\limits_{1}^{2}x^2(2-x)\mbox{d}x}\)
A to juz wszystko jest do policzenia
Co to Mo i Me, to niestety nie wiem (moze mialem jakies inne oznaczenia).
Pozdrawiam.
Aby sprawdzic czy funkcja jest gestoscia, trzeba sprawdzic, czy pole pod wykresem jest rowne 1. Nie ma wiekszego sensu liczyc to calka, gdyz odrazu widac, ze pole tego trojkata jest wlasnie 1.
Wzor na dystrybuante:
\(\displaystyle{ F_X(x)=\int\limits_{-\infty}^{x} f_X(t)\mbox{d}t}\)
Teraz zauwazamy, ze trzeba ja rozbic na 4 przedzialy, zgodnie ze wzorem gestosci:
\(\displaystyle{ F_X(x)=\begin{cases}
0,\;\;x\le 0\\
\int\limits_{0}^{x}t\mbox{d}t,\;\; 0<x\le 1\\
\int\limits_{0}^{1}t\mbox{d}t+\int\limits_{1}^{x}(2-t)\mbox{d}t,\;\; 1<x\le 2\\
1,\;\;x>2
\end{cases}=
\begin{cases}
0,\;\;x\le 0\\
\frac{x^2}{2},\;\; 0<x\le 1\\
\frac{1}{2}+2x-\frac{x^2}{2}-2+\frac{1}{2},\;\; 1<x\le 2\\
1,\;\;x>2
\end{cases}=
\begin{cases}
0,\;\;x\le 0\\
\frac{x^2}{2},\;\; 0<x\le 1\\
2x-\frac{x^2}{2}-1,\;\; 1<x\le 2\\
1,\;\;x>2
\end{cases}}\)
Domkniecia nie maja tutaj znaczenia, gdyz zmienna jest ciagla (nie robi to roznicy w liczeniu calki).
Wartosc oczekiwana wyznacza sie wprost ze wzoru, czyli:
\(\displaystyle{ EX=\int\limits_{0}^{1}x^2\mbox{d}x+\int\limits_{1}^{2}x(2-x)\mbox{d}x}\)
Wariancja, to znow kolejny wzor:
\(\displaystyle{ D^2X=VX=EX^2-(EX)^2\\
EX^2=\int\limits_{0}^{1}x^3\mbox{d}x+\int\limits_{1}^{2}x^2(2-x)\mbox{d}x}\)
A to juz wszystko jest do policzenia
Co to Mo i Me, to niestety nie wiem (moze mialem jakies inne oznaczenia).
Pozdrawiam.
-
Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
zmiena losowa ciagla
soku11, o takiej zmiennej mówimy, ze jest absolutnie ciągła (ew. typu ciągłego).
Mo to zapewne moda czyli musisz znaleźć ekstremum funkcji gęstości.
Me to mediana czyli taki punkt x dla rozkładów absolutnie ciągłych, że \(\displaystyle{ F(x)=\frac{1}{2}}\)
Mo to zapewne moda czyli musisz znaleźć ekstremum funkcji gęstości.
Me to mediana czyli taki punkt x dla rozkładów absolutnie ciągłych, że \(\displaystyle{ F(x)=\frac{1}{2}}\)