Niech \(\displaystyle{ X=(X_1,...,X_n)}\) będzie próbą z rozkładu normalnego \(\displaystyle{ N(0,1)}\). Rozważmy problem estymacji funkcji \(\displaystyle{ g(\theta)=P_{\theta} \{X_1=c \}= \Phi (c-\theta)}\), gdzie c- ustalona liczba. Uzasadnić, że \(\displaystyle{ T(X)=\Phi( \frac{c-\overline{X}}{\sqrt{\frac{n-1}{n}}} )}\) jest \(\displaystyle{ ENMW[g(\theta)]}\). Zbadać zachowanie graniczne tego estymatora.
Zadanie w pewnym momencie mnie przerosło... proszę o pomoc w dokończeniu.
Muszę sprawdzić, że \(\displaystyle{ E_{\theta}[T(X)]=g(\theta)}\), więc
\(\displaystyle{ E_{\theta}\Phi( \frac{c-\overline{X}}{\sqrt{\frac{n-1}{n}}} )=g(\theta)= \Phi (c-\theta)}\), dla \(\displaystyle{ \theta \in \Theta}\)
\(\displaystyle{ \frac{c-\overline{X}}{\sqrt{\frac{n-1}{n}}} \in N(\frac{c-\theta}{\sqrt{\frac{n-1}{n}}},\frac{n-1}{n})}\)
Przyjmuje, że \(\displaystyle{ m=\frac{c-\theta}{\sqrt{\frac{n-1}{n}}}}\) i \(\displaystyle{ {\sigma}^2=\frac{n-1}{n}}\)
\(\displaystyle{ E_{\theta}\Phi( \frac{c-\overline{X}}{\sqrt{\frac{n-1}{n}}} )= \int_{- \infty }^{+ \infty } \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \Phi(x) e^{- \frac{(x-m)^2}{2 {\sigma}^2}} dx =}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty }^{+ \infty } \Phi(x+m) e^{- \frac{x^2}{2 {\sigma}^2}} dx=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty }^{+ \infty } \int_{- \infty }^{x+m} e^{- \frac{t^2}{2}} dt e^{- \frac{x^2}{2 {\sigma}^2}} dx}\)
No i nie wiem jak postąpić dalej, bo obszar całkowania należy zamienić na taki, aby wszystko znajdowało się pod osią OX, tzn. jakie podstawienie przyjąć aby tak się stało?
Albo prościej, co dalej?