W populacji o rozkładzie normalnym pobrano próbę 4 elementową i dla obserwowanej cechy otrzymano wartości 15;17,5;20,5;27. Podać przedział ufności dla wartości średniej rozkładu obserwowanego cechy
-gdy nie jest znana wartość odchylenia standardowego
-gdy jest znana wartość odchylenia standardowego i wynosi \(\displaystyle{ \sigma=5}\)
Przedział ufności
Przedział ufności
Nie ma podanego poziomu ufności, dla którego należy owe przedziały wyznaczyć, więc podam rozwiązania dla najczęściej spotykanych poziomów 90%, 95% i 99%.
1) \(\displaystyle{ \sigma}\) nieznane
\(\displaystyle{ n = 4 \ (n <30)}\)
\(\displaystyle{ \overline {X}}\)\(\displaystyle{ = \frac{1}{n} \sum_{n=1}^{n} X_{i} = \frac{15 + 17.5 + 20.5 + 27}{4} = 20}\)
\(\displaystyle{ S^2 = \frac{1}{n} \sum_{n=1}^{n}( X_{i} - \overline {X})^2}\)
\(\displaystyle{ S^2 = \frac{1}{4} \cdot [(15-20)^2 + (17.5-20)^2 + (20.5-20)^2 + (27-20)^2]}\)
\(\displaystyle{ S^2 = \frac{1}{4} \cdot 80.5 = 20.125
S = \sqrt{20.125} \ , S = 4.49}\)
Korzystamy ze wzoru:
\(\displaystyle{ t_{0.1;3} = 2.353}\)
\(\displaystyle{ t_{0.05;3} = 3.182}\)
\(\displaystyle{ t_{0.01;3} = 5.841}\)
Korzystamy ze wzoru:
dla poz. ufn. 90%, \(\displaystyle{ u_{ \alpha } = 1.64}\)
1) \(\displaystyle{ \sigma}\) nieznane
\(\displaystyle{ n = 4 \ (n <30)}\)
\(\displaystyle{ \overline {X}}\)\(\displaystyle{ = \frac{1}{n} \sum_{n=1}^{n} X_{i} = \frac{15 + 17.5 + 20.5 + 27}{4} = 20}\)
\(\displaystyle{ S^2 = \frac{1}{n} \sum_{n=1}^{n}( X_{i} - \overline {X})^2}\)
\(\displaystyle{ S^2 = \frac{1}{4} \cdot [(15-20)^2 + (17.5-20)^2 + (20.5-20)^2 + (27-20)^2]}\)
\(\displaystyle{ S^2 = \frac{1}{4} \cdot 80.5 = 20.125
S = \sqrt{20.125} \ , S = 4.49}\)
Korzystamy ze wzoru:
\(\displaystyle{ \overline {X} - t_{ \alpha; n-1} \cdot \frac{S}{ \sqrt{n-1} } < m < \overline {X} + t_{ \alpha; n-1} \cdot \frac{S}{ \sqrt{n-1} }}\)
a) (poziom ufn. 90%) \(\displaystyle{ \ 1 - \alpha = 0.9 \ , \alpha = 0.1}\)\(\displaystyle{ t_{0.1;3} = 2.353}\)
\(\displaystyle{ 20 - 2.353 \cdot \frac{4.49}{ \sqrt{3} } < m < 20 + 2.353 \cdot \frac{4.49}{ \sqrt{3} }}\)
\(\displaystyle{ 13.9 < m < 26.1 \ \Leftrightarrow (13.9 \ ; \ 26.1)}\)
b) (poziom ufn. 95%) \(\displaystyle{ 1 - \alpha = 0.95 \ , \alpha = 0.05}\)\(\displaystyle{ t_{0.05;3} = 3.182}\)
\(\displaystyle{ 11.75 < m < 28.25 \ \Leftrightarrow (11.75 \ ; \ 28.25)}\)
c) (poziom ufn. 99%) \(\displaystyle{ 1 - \alpha = 0.99 \ , \alpha = 0.01}\)\(\displaystyle{ t_{0.01;3} = 5.841}\)
\(\displaystyle{ 4.86 < m < 35.1 \ \Leftrightarrow (4.86 \ ; \ 35.1)}\)
2) \(\displaystyle{ \sigma = 5}\)Korzystamy ze wzoru:
\(\displaystyle{ \overline {X} - u_{ \alpha} \cdot \frac{\sigma}{ \sqrt{n} } < m < \overline {X} + u_{ \alpha} \cdot \frac{\sigma}{ \sqrt{n} }}\)
\(\displaystyle{ \phi ( u_{ \alpha }) = 1 - \frac{ \alpha }{2}}\)dla poz. ufn. 90%, \(\displaystyle{ u_{ \alpha } = 1.64}\)
\(\displaystyle{ 20 - 1.64 \cdot \frac{5}{ \sqrt{4} } < m < 20 + 1.64 \cdot \frac{5}{ \sqrt{4} }}\)
\(\displaystyle{ 15.9 < m < 24.1}\)
dla poz. ufn. 95%, \(\displaystyle{ u_{ \alpha } = 1.96}\)
\(\displaystyle{ 15.1 < m < 24.9}\)
dla poz. ufn. 99%, \(\displaystyle{ u_{ \alpha } = 2.58}\)
\(\displaystyle{ 13.55 < m < 26.45}\)