Dane o powierzchni mieszkań i rocznym zużyciu w nich wody są następujące:
\(\displaystyle{ x \left(m^{2}\right): 34, 106, 78, 50, 64}\)
\(\displaystyle{ y \left(m^{3}\right): 3, 9, 6, 6, 5}\)
Na poziomie istotności \(\displaystyle{ \alpha=0,05}\) zweryfikować hipotezę o braku korelacji.
\(\displaystyle{ \overline{x}=\frac{34+106+78+50+64}{5}=\frac{332}{5}=66,4}\)
\(\displaystyle{ \overline{y}=\frac{3+9+6+6+5}{5}=\frac{29}{5}=5,8}\)
Obliczam kowariancję:
\(\displaystyle{ cov(x,y)=\frac{1}{N} \sum (x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})}\)
\(\displaystyle{ cov(x,y)=43,68}\)
\(\displaystyle{ s(x)=24,60569}\)
\(\displaystyle{ s(y)=1,93907}\)
Obliczam współczynnik korelacji liniowej Pearsona:
\(\displaystyle{ r_{xy}=\frac{cov(x,y)}{s(x)s(y)}}\)
\(\displaystyle{ r_{xy}=0,915489}\)
\(\displaystyle{ H_{0}: \rho=0}\)
\(\displaystyle{ H_{1}: \rho\neq 0}\)
Jako, że \(\displaystyle{ n=5 \leq 120}\), to sprawdzianem hipotezy jest statystyka:
\(\displaystyle{ t=\frac{r_{xy}}{\sqrt{1-r^{2}_{xy}}} \sqrt{n-2}}\)
\(\displaystyle{ t=\frac{0,915489}{\sqrt{1-(0,915489)^{2}}}\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ t=3,941}\)- wartość statystyki testowej
Wyznaczam dwustronny obszar krytyczny:
\(\displaystyle{ t_{\alpha}=3,182}\)
Wartość statystyki testowej wpada do obszaru krytycznego, zatem hipotezę \(\displaystyle{ H_{0}}\) odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej \(\displaystyle{ H_{1}}\). Zatem możemy twierdzić, iż istnieje związek liniowy pomiędzy badanymi zmiennymi.
Proszę o sprawdzenie.
