Estymatory nieobciążone

[sarnaps]

Niech \(\displaystyle{ {X_1...X_n}}\) będzie próbą z populacji o rozkładzie jednostajnym na odcinku \(\displaystyle{ {<0,a>}}\). Niech \(\displaystyle{ {T_1=}\frac{n+1}{n}{\max X_1...X_n}}\) ,a \(\displaystyle{ {T_2=}\frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n} X_1}\) będą estymatorami parametru \(\displaystyle{ {a}}\). Wykazać, że oba estymatory są nieobciążone oraz że estymator \(\displaystyle{ {T_1}}\) jest lepszy od \(\displaystyle{ {T_2}}\).

[abrasax]

efektywność
dla \(\displaystyle{ T_1=\frac{n+1}{n}T}\)
\(\displaystyle{ F_{T}(x)=P(max{X_1,...,X_n}<x)=P(X_1<x,...,X_n<x)=(P(X_1<x))^n=(F(x))^n=\left(\frac{x}{a}\right)^n}\)
\(\displaystyle{ f_{T}(x)=\frac{n}{a}\left(\frac{x}{a}\right)^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ ET_1=\frac{n+1}{n}\int_0^a\frac{n}{a}\left(\frac{x}{a}\right)^{n-1}xdx}\)
przez części
\(\displaystyle{ ET_1=\frac{n+1}{n}\left(a-\frac{a}{n+1}\right)=a}\)

dla T2
\(\displaystyle{ ET_2=\frac{2}{n}\sum E(X_i)=\frac{2}{n}n\frac{a}{2}=a}\)

Który lepszy -porównać wariancje

[janek12345]

Czy ktoś mógłby powiedzieć w jaki sposób policzyć te wariancje lub po prostu je obliczyć i tutaj napisać?

[miodzio1988]

Wystarczy policzyć drugi moment i wstawić do najbardziej znanego wzoru na wariancje

[janek12345]

Czyli mam policzyć coś takiego :
\(\displaystyle{ D ^{2} (X) = E(X ^{2} ) - (EX) ^{2}}\) tak?

A jeśli tak to w takim razie jak mam policzyć\(\displaystyle{ E(X ^{2} )}\) dla T1 i T2?
Czy to ma być w ten sposób, że robię
\(\displaystyle{ E(X ^{2} ) = E(T1 ^{2} ) = E(\frac{n+1}{n}\cdot{\max X_1...X_n})}\) i teraz to \(\displaystyle{ \frac{n+1}{n}}\)
przed nawias z kwadratem a reszta to jest już moja wartość oczekiwana, którą policzyłem wcześniej?

[Bugmenot]

Czyli mam policzyć coś takiego :
\(\displaystyle{ D ^{2} (X) = E(X ^{2} ) - (EX) ^{2}}\) tak?

A jeśli tak to w takim razie jak mam policzyć\(\displaystyle{ E(X ^{2} )}\) dla T1 i T2?
Czy to ma być w ten sposób, że robię
\(\displaystyle{ E(X ^{2} ) = E(T1 ^{2} ) = E(\frac{n+1}{n}\cdot{\max X_1...X_n})}\) i teraz to \(\displaystyle{ \frac{n+1}{n}}\)
przed nawias z kwadratem a reszta to jest już moja wartość oczekiwana, którą policzyłem wcześniej?

Podpinam sie do pytania. i jezeli przepisze wszyskie te wzorki to bedzie kompletne zadanie rozumiem?

[miodzio1988]

i jezeli przepisze wszyskie te wzorki to bedzie kompletne zadanie rozumiem?

Nie

\(\displaystyle{ E(X ^{2} ) = E(T1 ^{2} ) = E(\frac{n+1}{n}\cdot{\max X_1...X_n})}\)

Czym jest \(\displaystyle{ X}\) u Ciebie? I chyba policzenie drugiego momentu nie powinno byc problemem gdy mamy gestosc zmiennej losowej...

[janek12345]

To jest mój X:
Niech \(\displaystyle{ {X_1...X_n}}\) będzie próbą z populacji o rozkładzie jednostajnym na odcinku \(\displaystyle{ {<0,a>}}\)

Jeśli dobrze rozumiem to momentem drugim nazywasz wariancję( tak mnie zawsze uczono)?
Skoro tak to niestety ale nie znam żadnego wzoru na obliczenie wariancji mając podaną funkcję gęstości a z tego co widzę jest to dość oczywiste więc może podasz mi po prostu ten wzór?

Z wzoru \(\displaystyle{ D ^{2} (X) = E(X ^{2} ) - (EX) ^{2}}\) który podałem powyżej nie mogę obliczyć tak?
A jeśli mogę to czy moje rozumowanie przedstawione w poprzednim poście jest poprawne?

[miodzio1988]

Jeśli dobrze rozumiem to momentem drugim nazywasz wariancję( tak mnie zawsze uczono)?

Nie. Drugi moment to coś innego

A jeśli mogę to czy moje rozumowanie przedstawione w poprzednim poście jest poprawne?

Jest zbędne.

\(\displaystyle{ E(X ^{2} )}\)

Takie cudo potrafisz policzyć mając gestosc?

[janek12345]

\(\displaystyle{ E(X ^{2}) = \int_{- \infty }^{ \infty }( x*f(x)) ^{2}}\)
W taki sposób bym to obliczył.
Poprawnie?

A jeśli już to obliczę to co dalej bo póki co to obliczamy jedna z części wzoru na wariancję który napisałem w poprzednim poście?