proces liczący i proces gaussowski

mrowkab · Post autor: **mrowkab** » 24 sty 2009, o 17:17

1. W wyborach kandydat A otrzymał n głosów, zaś kandydat B m głosów, gdzie \(\displaystyle{ n>m}\). Zakładając, że wszystkie uporządkowania zaliczanych przez komisję wyborczą głosów są tak samo prawdopodobne, wykazać, iż prawdopodobieństwo, że w procesie zliczania głosów kandydat A cały czas prowadził, jest równe \(\displaystyle{ \frac{n-m}{n+m}}\)

2. Niech \(\displaystyle{ {W(t)}_{t \ge 0}}\) będzie standardowym procesem Winera, a następnie zdefiniujmy nowy proces \(\displaystyle{ B(t)=tW(\frac{1}{t})}\). Czy B(t) jest procesem gaussowskim (jeśli tak to jakim?).

3. Niech \(\displaystyle{ \{X(t) \}_{t \ge 0}}\) - proces ruchu Browna oraz \(\displaystyle{ t>1}\). Obliczyć \(\displaystyle{ E[X(t^2-t)X(t^2+t)]}\)

Niestety pomysłów brak. Proszę o pomoc.

Emiel Regis · Post autor: **Emiel Regis** » 26 sty 2009, o 08:51

ad. 2
Na pewno łatwo widać, ze zmienna \(\displaystyle{ t \cdot W \left(\frac{1}{2} \right)}\) ma rozkład normalny, i co należy zrobić to jest jasne - trzeba pokazać, że wszystkie skończenie-wymiarowe rozkłady są normalne. Nie mam czasu nad tym myśleć bo egzamin przede mną ale popróbuj i napisz wyniki w tym temacie, jak znajde chwile to przysiąde do tego.

mrowkab · Post autor: **mrowkab** » 29 sty 2009, o 21:51

Przepraszam za tą ciszę, ale jak wiadomo sesja i wszystkich czas goni. Spróbuję jutro coś sensownego napisać i edytuje ten wpis, więc byłabym wdzięczna np. za poprawienie mnie za ok. 2 dni

---

Więc idąc za Twoją radą mam udowodnić że rozkłady skończenie wymiarowe są miarami gaussowskimi. Czyli innymi słowy mam pokazać, że...
\(\displaystyle{ \mu_{t_1,...,t_n}= N(m(\underline{t}),V(\underline{t}))}\) gdzie
\(\displaystyle{ m(\underline{t}=(m(t_1),...,m(t_n)) \in R^n}\) i
\(\displaystyle{ V(\underline{t})=[v(t_i,t_j)]_{nxn}}\) macierz kowariancji
\(\displaystyle{ \varphi_{t_1,...,t_n} (\tau_1,...,\tau_n)=exp \{ i \sum_{j=1}^{n} m(t_j)\tau_j -\frac{1}{2} \sum_{j,k}(\tau_j - m(\tau))v(t_j,t_k)(\tau_k-m(\tau_k))) \}}\)
Z tego mam dosłownie skorzystać? Definicję żywcem wzięłam z wykładów, tylko nikt nigdzie więcej nie tłumaczy czym są te \(\displaystyle{ \tau}\) skoro wszystko było zależne od t, o ile to ma jakiekolwiek tu znaczenie.

Wiemy, że \(\displaystyle{ W(\frac{1}{t})}\) ma rozkład normalny \(\displaystyle{ N(0,\frac{1}{t})}\) (czy tak?). Więc, muszę postawiać za wartość \(\displaystyle{ v(\underline{t})=\frac{1}{t}}\) do wzoru??
Tak, czy to kompletnie przekombinowane?
Niewiele z tego rozumiem, będę wdzięczna za więcej wskazówek...

Emiel Regis · Post autor: **Emiel Regis** » 29 sty 2009, o 23:02

To żeby nie przegapić Twojej edycji to odpisuje, jak coś wymyslisz to napisz; )

mrowkab · Post autor: **mrowkab** » 3 lut 2009, o 10:13

I jak? Zależałoby mi na odpowiedzi do czwartku, ponieważ w piątek będę z tego miała egzamin... a warto chociaż coś tknąć z tych zadań

Emiel Regis · Post autor: **Emiel Regis** » 3 lut 2009, o 13:29

mrowkab pisze:Więc idąc za Twoją radą mam udowodnić że rozkłady skończenie wymiarowe są miarami gaussowskimi. Czyli innymi słowy mam pokazać, że...
\(\displaystyle{ \mu_{t_1,...,t_n}= N(m(\underline{t}),V(\underline{t}))}\) gdzie
\(\displaystyle{ m(\underline{t}=(m(t_1),...,m(t_n)) \in R^n}\) i
\(\displaystyle{ V(\underline{t})=[v(t_i,t_j)]_{nxn}}\) macierz kowariancji
\(\displaystyle{ \varphi_{t_1,...,t_n} (\tau_1,...,\tau_n)=exp \{ i \sum_{j=1}^{n} m(t_j)\tau_j -\frac{1}{2} \sum_{j,k}(\tau_j - m(\tau))v(t_j,t_k)(\tau_k-m(\tau_k))) \}}\)

No ale tu nie napisałaś nic do pokazania. To jest tylko rozpisanie tego co to jest wielowymiarowy rozkład normalny. Można go oczywiscie definiować poprzez funkcję charakterystyczną jednak wygodniej chyba spojrzec na gestosc. Łatwiej nam będzie operować na zmiennych losowych niż bezposrednio na miarach, dlatego weźmy sobie taki wektor losowy:

\(\displaystyle{ X = [X(t_1), \ldots, X(t_n)]^T \sim \mathcal{N}_n(m, \Sigma)\\ \\
m = [m(t_1), \ldots, m(t_n)]^T = EX\\ \\
\Sigma = Var(X) - \mbox{ macierz dodatnio określona stopnia n}}\)

Teraz gęstość w/w wektora losowego przedstawia się w taki sposób:

\(\displaystyle{ f_X(x) = \frac{1}{(2 \pi)^{\frac{n}{2}} \cdot |\Sigma|^{\frac{1}{2}}} \exp \left \{ -\frac{1}{2}[x-m]^T \Sigma^{-1} [x-m] \right \}\\ \\
\mbox{gdzie:}\\ \\
x = [x(t_1), \ldots, x(t_n)]^T}\)

Jako argument gęstości oczywiscie nie ma znaczenia czy wpiszemy tau, t (choc faktycznie zwyczajowo jako argument funkcji charakterystycznej sie pisze t) czy też x. Oczywiscie o ile rozumiemy co piszemy.

U nas mamy wektor:

\(\displaystyle{ W = \left [t_1 W \left(\frac{1}{t_1}\right), \ldots, t_n W \left(\frac{1}{t_n}\right) \right]^T}\)

i mamy pokazac ze ten wektor ma wielowymiarowy rozkład normalny. Mozesz tak jak chciałaś znalezc jego funkcje charakterystyczną i porównąć ją z tym co napisalas badz znalezc jego gęstość i porównać z tym co ja napisalem. To juz są trudne rzeczy.

mrowkab pisze:Wiemy, że \(\displaystyle{ W(\frac{1}{t})}\) ma rozkład normalny \(\displaystyle{ N(0,\frac{1}{t})}\) (czy tak?). Więc, muszę postawiać za wartość \(\displaystyle{ v(\underline{t})=\frac{1}{t}}\) do wzoru??
Tak, czy to kompletnie przekombinowane?
Niewiele z tego rozumiem, będę wdzięczna za więcej wskazówek...

U Ciebie \(\displaystyle{ \underline{t} = (t_1, \ldots, t_n)}\) wiec zapis \(\displaystyle{ v(\underline{t}) = \frac{1}{t}}\) raczej nie ma sensu.

Poszukaj tego w literaturze. Wiem, że mozna pokazać nawet znacznie wiecej, mianowicie proces \(\displaystyle{ t W(\frac{1}{t})}\) jest procesem Wienera.

Inaczej pozostaje Ci wziasc zbiór borelowski i liczyć:

\(\displaystyle{ P(W \in A) = \ldots}\)

Nic wiecej w tej chwili nie umiem napisac. Moze ktos inny jeszcze cos napisze.

sigma_algebra1 · Post autor: **sigma_algebra1** » 3 lut 2009, o 20:19

Nie bardzo wiele z tego pamiętam, więc może napiszę coś niezbyt mądrego:
ale gdyby wziąć definicję procesu gaussowskigo mówiąca , że każda liniowa kombinacja ma rozkład normalny
definicja 2

, zrobić taka dowolna liniową kombinację, następnie poprzekształacać sume dodając i odejmując wyrazy tak aby otrzymac przyrosty, wtedy korzystajac z niezalezności przyrostów w ruchu Browna i normalności dla procesów Wienera \(\displaystyle{ W_t - W_s}\) można pokazac, że taka kombinacja jest kombincja niezależnych zmiennych o rozkładzie normalnym wiec ma rozkład normalny.
(w kombinacji mozna wyjsci od postaci \(\displaystyle{ tW( \frac{1}{t} )}\), albo łatwiej od procesu:
\(\displaystyle{ Y_t = tW( \frac{1}{t} ), t>0 i Y_t=0, t=0}\)
tylko najpierw udowodnic , że jest to ruch Browna

poprawcie mnie jesli się mylę, ale tak na pierwszy rzut oka to jest wykonalne....jezeli napisałam glupotę przepraszam...

mrowkab · Post autor: **mrowkab** » 6 lut 2009, o 15:30

Dziękuję za pomoc w temacie, szczerze to odpowiedź Emiel Regis przeraziła mnie i jedynie co mi pozostało to wierzyć, że nie dostanę takiego czy podobnego zadania na egzaminie (no i nie dostałam). Tak czy siak dowiedziałam się (piąte przez dziesiąte, czyli ktoś gdzieś był u kogoś na konsultacjach), że zadanie to należy rozwiązać opierając się dosłownie na definicji procesu Winera, tzn. że spełnia warunki...
1. \(\displaystyle{ W(0)=0}\)
2. W ma przyrosty niezależne
3. \(\displaystyle{ \wedge_{ 0 \le s \le t} W_t - W_s \sim N(0,t-s)}\)
Ale to i tak nie odpowiada na pytanie jaki to proces jest.
Ile w tym jest prawdy? Nie mam zielonego pojęcia, najwyraźniej procesy gaussowskie nie są moją mocną stroną.

Emiel Regis · Post autor: **Emiel Regis** » 11 lut 2009, o 20:10

Jeśli byś potrafiła pokazać, ze jest to proces Wienera to już w zasadzie masz wszystko gdyż każdy proces Wienera jest procesem Gaussowskim (to już jest nieco łatwiej pokazać). Czyli tak jak pisalem wczesniej, byłoby wtedy znacznie wiecej pokazane niż pytałas w pierwszym poście.

yaho888 · Post autor: **yaho888** » 22 sty 2011, o 22:44

Temat stary, ale mam podobne pytanie więc się podepnę
Mam problem z jak udowodnić ciągłość w 0 tego procesu \(\displaystyle{ B_t}\)?
\(\displaystyle{ B_t \begin{cases} tW_{1/t}, t>0 \\ 0, t=0 \end{cases}}\)