Stosując metodę momentów w oparciu o n-elementową próbę prostą X1,...,Xn znaleźć estymator parametru \(\displaystyle{ b^2}\) rozkładu Rayleigha o gęstości:
\(\displaystyle{ f(x,b) = \frac{x}{b^2} e^{-\frac{x^2}{2b^2}}}\)
bardzo proszę o szybkie rozwiązanie tego zadania, bo po prostu nie mam pojęcia jak to zrobić
Metoda momentów- rozkład Rayleigha
Metoda momentów- rozkład Rayleigha
Ostatnio zmieniony 21 sty 2009, o 16:00 przez scyth, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: po pierwsze: momENtów - nie momętów!!! po drugie - naucz się poprawnie zapisywać formuły w LaTeX-u
Powód: po pierwsze: momENtów - nie momętów!!! po drugie - naucz się poprawnie zapisywać formuły w LaTeX-u
-
Szemek
- Użytkownik
- Posty: 4819
- Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 1407 razy
Metoda momentów- rozkład Rayleigha
Akurat to zadanie pojawiło się u mnie na statystyce, więc zamieszczam szkic rozwiązania. Może komuś się przyda.
Zapiszę to po swojemu
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 0, \qquad \hbox{ dla } x\le 0 \\ \frac{x}{b^2}e^{-\frac{x^2}{2b^2}}, \quad \hbox{ dla } x>0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ X_1, X_2, \ldots, X_n}\) - próba prosta
moment zwykły rzędu pierwszego
\(\displaystyle{ m_1 = E(X) = \int\limits_{\mathbb{R}} xf(x) \mbox{d}x = \int_0^{\infty} \frac{x^2}{b^2}e^{-\frac{x^2}{2b^2}} = \ldots = \frac{\sqrt{2\pi b^2}}{2}}\)
moment empiryczny
\(\displaystyle{ M = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \overline{X}}\)
Porównujemy momenty:
\(\displaystyle{ \overline{X} = \frac{\sqrt{2\pi b^2}}{2} \\
\ldots}\)
Ostatecznie otrzymujemy, że estymator \(\displaystyle{ \hat{b^2}}\) wynosi:
\(\displaystyle{ \hat{b^2} = \frac{2\overline{X}^2}{\pi}}\)
Zapiszę to po swojemu
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 0, \qquad \hbox{ dla } x\le 0 \\ \frac{x}{b^2}e^{-\frac{x^2}{2b^2}}, \quad \hbox{ dla } x>0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ X_1, X_2, \ldots, X_n}\) - próba prosta
moment zwykły rzędu pierwszego
\(\displaystyle{ m_1 = E(X) = \int\limits_{\mathbb{R}} xf(x) \mbox{d}x = \int_0^{\infty} \frac{x^2}{b^2}e^{-\frac{x^2}{2b^2}} = \ldots = \frac{\sqrt{2\pi b^2}}{2}}\)
moment empiryczny
\(\displaystyle{ M = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \overline{X}}\)
Porównujemy momenty:
\(\displaystyle{ \overline{X} = \frac{\sqrt{2\pi b^2}}{2} \\
\ldots}\)
Ostatecznie otrzymujemy, że estymator \(\displaystyle{ \hat{b^2}}\) wynosi:
\(\displaystyle{ \hat{b^2} = \frac{2\overline{X}^2}{\pi}}\)