korelacja i regresja

[doniebawzieta]

bardzo proszę o pomoc, bo kompletnie nie mogę sobie poradzić z poniższymi zadankami

1) Udowodnić własność korelacji:
\(\displaystyle{ \varrho (X,Y)=-1}\) wtedy i tylko wtedy, gdy: \(\displaystyle{ P(Y=-X+b)=1}\)

2) Załóżmy, że zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\). Wyznacz kwadratowy błąd liniowej aproksymacji dla wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y)}\), jeżeli: \(\displaystyle{ Y=X^2}\)

3) Udowodnić wzór na błąd regresji drugiego rodzaju:
\(\displaystyle{ e= (1- \varrho(X,Y)^2) \sigma _Y ^2}\)

4) Kura składa \(\displaystyle{ N}\) jaj, gdzie \(\displaystyle{ N}\) jest zmienna losowa o rozkładzie Poissona z wartoscia oczekiwana \(\displaystyle{ \lambda}\). Z jaja wykluwa sie piskle z prawdopodobienstwem \(\displaystyle{ p}\), niezaleznie od innych jaj. Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie liczbą piskląt. Mamy:
\(\displaystyle{ E(K|N = n) = pn}\), bo rozkład warunkowy \(\displaystyle{ K}\) wzgledem \(\displaystyle{ N}\), to rozkład dwumianowy \(\displaystyle{ Bi(n; p)}\).
Zatem \(\displaystyle{ E(K|N) = pN}\),
\(\displaystyle{ EK = E(E(K|N)) = E(pN) = pEN = p \lambda}\).

a) wyznacz rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ K}\)
b) pokaż, że \(\displaystyle{ E(N|K)=K+ p \lambda}\).