Wyznacz wartość modalną zmiennej losowej X(najbardziej prawdopodobną wartością zmiennej losowej) o dwumianowym rozkładzie prawdopodobieństwa
Wiem że dwumianowy rozkład to rozkład prawdopodobieństwa, który opisuje liczbe sukcesów przy określonej ilości prób przy stałym prawdopodobieństwie sukcesu. Wzór tego prawdopodobieństwa to: \(\displaystyle{
P\left( X = K\right) = \left( \frac{n}{k} \right) \cdot p^{k} \cdot \left( 1 - p\right)^{n-k}
}\). Natomiast dominanta to nic innego jak najczęściej powtarzająca się wartość. Wzór na to jest następujący: \(\displaystyle{
D = X + \frac{ n_{d} - n_{d-1} }{\left( n_{d} - n_{d+1}\right) + \left( n_{d} - n_{d-1}\right)} \cdot h
}\)
I teraz moje pytanie. Jak mogę wyznaczyć tą wartość modalną zmiennej losowej X o rozkładzie dwumianowym. Wiem że rozkład dwumianowy charakteryzuje się takimi własnościami jak wariancja i wartość oczekiwana. Czyli muszę wyliczyć wyliczyć wartość oczekiwaną lub wariancje potem podstawić to do wzoru na rozkład dwumianowy i wyliczyć tą wartość modalną?
Modą Mo lub dominantą zmiennej losowej \(\displaystyle{ X }\) nazywamy:
1. w przypadku zmiennej losowej skokowej - wartość zmiennej losowej, której odpowiada największe prawdopodobieństwo,
2. w przypadku zmennej lowowej ciągłej - wartość dla której gęstość przyjmuje maksimum lokalne.
Zmienna losowa \(\displaystyle{ X }\) o rozkładzie dwumianowym jest zmienną losową skokową wyznaczymy maksymalną wartość prawdioidobieństwa
Ustalmy dowolnie watości \(\displaystyle{ n, k }\) i zbadajmy przy jakiej wartości \(\displaystyle{ p, \ \ 0< p < 1 }\) prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P_{n,k}}\) osiągnie wartość największą.
Prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P_{n,k} = {n\choose k}p^{k}(1-p)^{n-k} }\) przy zmiennym \(\displaystyle{ p }\) można traktować jako funkcję tej zmiennej.
Funkcja ta przyjmuje na krańcach przedziału \(\displaystyle{ \langle 0, 1 \rangle }\) wartość zero, a pnieważ jest ciągła, więc osiąga swój kres górny w pewnym punkcie wewnętrznym tego przedziału.
Dla uproszczenia rachunków zajmiemy się rozważeniem funkcji
\(\displaystyle{ f(p) = p^{k}(1-p)^{n-k} }\), która jak i funkcja \(\displaystyle{ P_{n,k} }\) ma ekstremum jednocześnie z funkcją
\(\displaystyle{ \log[f(p)] = k\log(p) +(n-k)\log(1-p) }\) (po zlogarytmowaniu funkcji \(\displaystyle{ f(p)). }\)
Skoro szukamy najbardziej prawdopodobnej wartości zmiennej losowej, to znaczy, że przy ustalonych `p` i `n` szukamy takiego `k`, aby `P_{n,k}` było największe. Najprościej można to zrobić badając różnice `P_{n.k+1}-P_{n,k}`, dla `k=0,1,...,n-1`: \(\displaystyle{ \binom{n}{k+1}p^{k+1}(1-p)^{n-k-1}-\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k-1}\left[p(n+1)-(k+1)\right]}\)
Wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest nieujemne dla `k\le p(n+1)-1` i ujemne dla `k>p(n+1)-1`, a zatem przyjmuje największą wartość dla `k=\lfloorp(n+1)-1\rfloor`.
W przypadku gdy dla pewnego `k` mamy `k=p(n+1)-1` to dla takiego `k` zachodzi `P_{n,k+1}=P_{n,k}`, więc zmienna losowa ma dwie wartości modalne: `k` oraz `k+1` (tak jest np. w przypadku gdy `p=1/2` i `n` jest nieparzyste).
A przepraszam. Mógłbym prosić jeszcze o pomoc w jednym zadaniu?
Wykaż, że zmienna losowa \(\displaystyle{ X=X_{1}+X_{2}+X_{3}+...+X_{n}}\) ma rozkład Poissona, jeśli n→\(\displaystyle{ \infty }\). Wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X