Problem z oszacowaniem.

[magdaskowska]

Analizując pewien tekst na seminarkę napotkałam na oszacowanie, którego nie mogę rozgryźć..., oto ono:

\(\displaystyle{ \frac{p}{\delta}\leq \left( 1+ \left[ \frac{1}{\delta} \right] \right) p\leq - \log \left( 1-\eta \right) \leq 2 \eta}\),

gdzie:
\(\displaystyle{ p}\)-pewne prawdopodobieństwo,
\(\displaystyle{ \delta\in \left( 0,1 \right)}\),
\(\displaystyle{ \eta \leq \frac{1}{2}}\),
dodatkowo spełnione jest
\(\displaystyle{ 1- \left( 1-p \right) ^{ \left( 1+ \left[ \frac{1}{\delta} \right] \right) } \left( 1+ \left[ \frac{1}{\delta} \right] \right)}\),
bo skoro podstawa logarytmu jest mniejsza od \(\displaystyle{ 1}\) to chyba tak wychodzi. Ale dalej - skąd logarytm dziesiętny? (zmiana podstawy logarytmu?) i ten minus przed nim tez jakos mi nie wychodzi.
Ktoś ma pomysł skąd to się wzięło? Ja próbowałam ale w końcu się poddałam:(

[ Dodano: 5 Stycznia 2009, 22:39 ]
Pisząc "pierwszą nierówność" miałam na myśli oczywiście tylko pierwsze szacowanie w pierwszym podanym przeze mnie wyrażeniu , przez ostatnia nierówność rozumiałam dodatkowy warunek podany na koncu.
Pozdrawiam

[Qń]

Gdyby to był logarytm naturalny, to z uwagi na to, że zachodzą nierówności:
\(\displaystyle{ \ln (1-x) -2x}\) dla \(\displaystyle{ x [0,\frac{1}{2}] \ (*)}\)
\(\displaystyle{ x - \ln (1-x)}\) dla \(\displaystyle{ x (0,1) (**)}\)
(łatwo ich dowieść przerzucając wszystko na jedną stronę i badając pochodne funkcji która po tejże stronie się znajdzie)

oraz z uwagi na to, że dana nierówność to tyle co:
\(\displaystyle{ \ln (1- \eta ) < (1+[\frac{1}{\delta}]) \ln (1-p) \ (***)}\)
mamy:

\(\displaystyle{ (1+[\frac{1}{\delta}])p q^{(**)}
(1+[\frac{1}{\delta}]) (- \ln (1-p) ) q^{(***)}
- \ln (1-\eta)\leq^{(*)} 2 \eta}\)

Q.