Prawdop. wylosowania ciągu monotonicznego.

[_Mithrandir]

Z liczb należących do zbioru \(\displaystyle{ \{1, 2, ..., n\}}\) tworzymy wszystkie trójwyrazowe ciągi. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrany losowo jeden taki ciąg będzie monotoniczny.



Założyłem, że \(\displaystyle{ \Omega=v^3_n=\frac{n!}{(n-3)!}=(n-2)(n-1)n}\)

Dobrze?

I jak obliczyć A?

Przy czym prawdopodobieństwo: \(\displaystyle{ P(A)=\frac{A}{\Omega}}\).

W odpowiedziach jest wynik: \(\displaystyle{ \frac{(n-1)(n-2)}{3n^2}}\) i wskazówka: "Zauważ, że liczba zdarzeń sprzyjających będzie równa podwojonej liczbie trzyelementowych kombinacji danego zbioru"

Może ktoś pomóc?

[Ateos]

chyba niezbyt te odpowiedzi, bo podstawmy: n=3 i mamy zbior: 1,2,3 czyli mamy 6 mozliwych ciagow(3!), a monotonicznych jest 2(1,2,3/3;2;1) wiec \(\displaystyle{ P(A)= \frac{1}{3}}\), a nie podstawiajac do odpowiedzi: \(\displaystyle{ \frac{2}{27}}\)
dla n=4 tez nie bedzie sie zgadzac

[_Mithrandir]

Czyli jak wykonać zadanie?

[Ateos]

masz podpowiedz, przeciez:P

Zauważ, że liczba zdarzeń sprzyjających będzie równa podwojonej liczbie trzyelementowych kombinacji danego zbioru

czyli: \(\displaystyle{ 2 {n \choose 3}}\)
ale ta podpowiedz rozwiez jest do bani, bo dla \(\displaystyle{ n=4}\) juz sie nie zgadza.
mamy szesc takich ciagow:
\(\displaystyle{ 1;2;3\\
1;2;4\\
2:3:4\\
4:2:1\\
4:3:1\\
4:3:2}\)
a podstawiajac do wzoru z podpowiedzi dostajemy \(\displaystyle{ 8}\) takich ciagow/...

a omega to: losowanie \(\displaystyle{ 3}\) wyrazow z \(\displaystyle{ n}\) razy ilosc permutacji trzyelementowego zbioru(wtedy beda wszystkie kombinacje trzyelementowe), czyli:
\(\displaystyle{ \Omega = {n \choose 3} \cdot 3!= 6 \cdot {n \choose 3}}\)
jest dobrze bo sprawdzalem dla \(\displaystyle{ n=3,4,5}\)

zostaje znalezienie wzoru na zdarzenie \(\displaystyle{ A}\) ... jak znajde to odpisze(najpozniej jutro)

[ Dodano: 6 Stycznia 2009, 23:13 ]
doszedlem do tego jak tworza sie(ile ich bedzie) ktore sa monotoniczne.
\(\displaystyle{ n=3> 1+0+1=2}\) / gdzie \(\displaystyle{ 1}\)(to ciagow monotonicznych gdzie cyfra na poczatku to \(\displaystyle{ 1, 0}\) gdzie cyfra to \(\displaystyle{ 2, 1}\) gdzie \(\displaystyle{ 3}\))
\(\displaystyle{ n=4> 3+1+1+3=8}\) (analogicznie)
\(\displaystyle{ n=5> 6+2+2+2+6=18}\) (anal.)

dalej juz nie wypisywalem wszystkich liczb, widac pewna zaleznosc: srodkowa wartosc dla nastepnego \(\displaystyle{ n}\) jest wieksza o jeden i jest ich dwa razy wiecej, oraz \(\displaystyle{ 1}\) i ostatni wyraz dla \(\displaystyle{ n}\) nastepnego jest o \(\displaystyle{ n-1}\) wiekszy od naszego \(\displaystyle{ 1}\) i ostatniego wyrazu, powinno wiec byc dla :
\(\displaystyle{ n=6> 10+3+3+3+3+10=32}\)
i sprawdzilem dla ciagow o \(\displaystyle{ 1}\) wyrazie "1" i sie zgadza. teraz tylko trzeba ulozyc wzor znajac \(\displaystyle{ n}\) oraz wynik

wykombinowalem cos takiego:

\(\displaystyle{ n=3>> 2\\
n=4>>8 (3 \cdot 4-4)\\
n=5>>18 (4 \cdot 5-2)\\
n=6>>32 (5 \cdot 6+2)}\)

czyli iloczyn \(\displaystyle{ n(n-1)}\) ale teraz dalej juz nie mam pomyslu z tym \(\displaystyle{ -2}\)

[_Mithrandir]

a omega to: losowanie 3 wyrazow z n razy ilosc permutacji 3elementowego zbioru(wtedy beda wszystkie kombinacje 3 elementowe), czyli:

Kombinacje? Nie ma mowy - przecież to ciągi, czyli uporządkowany szereg elementów tzn. (1,2,3)\(\displaystyle{ \not =}\)(3,2,1) itd. Kombinacje to natomiast zbiory, czyli np. {1,2,3}={3,1,2}.

Odpowiedzi się zgadzają, jeżeli przyjmiemy, że liczby mogą się powtarzać, wtedy: \(\displaystyle{ \Omega = n^3}\) (wariacja z powtórzeniami)

Ciągów ściśle monotonicznych (rosnące/malejące) jest tak jak mówisz: \(\displaystyle{ 2(^n_3)}\)

I wtedy idzie jak trza

[karka92]

mam pytanie do tego zadania rozumiem dlaczego omega wychodzi tyle ale nie rozumiem zdarzenia A mogl by mi ktos wytlumaczyc dlaczego \(\displaystyle{ A=2{n\choose 3}}\) prosze o pomoc

[mat_61]

Zadanie nie jest takie trudne jakby mogło sie wydawać:

Wszystkich ciągów 3 elementowych utworzonych ze zbioru n-elementowego jest oczywiście \(\displaystyle{ n^{3}}\) (w zadaniu nie ma nic o tym, ze ciąg musi być różnowartościowy).

Ciągów monotonicznych jest \(\displaystyle{ 2 \cdot C^{3}_{n}}\)

Dlaczego jest ich akurat tyle? Jeżeli weźmiemy wszystkie kombinacje 3-elementowe bez powtórzeń ze zbioru n liczb naturalnych to uzyskamy \(\displaystyle{ C^{3}_{n}}\) różnych zbiorów. Każdy taki zbiór można uporządkować w ciąg monotoniczny na dwa sposoby: rosnąco (od najmniejszej do największej) lub malejąco (od największej do najmniejszej)

--------------

czyli: \(\displaystyle{ 2 {n \choose 3}}\)
ale ta podpowiedz rozwiez jest do d.. bani, bo dla n=4 juz sie nie zgadza.
mamy ,,,,szesc takich ciagow:
1;2;3
1;2;4
2:3:4
4:2:1
4:3:1
4:3:2 a podstawiajac do wzoru z podpowiedzi dostajemy 8 takich ciagow/...

Zapomniałeś o ciągach (1;3;4) (3;2;1)

-- 14 paź 2010, o 13:56 --

a omega to: losowanie 3 wyrazow z n razy ilosc permutacji 3elementowego zbioru(wtedy beda wszystkie kombinacje 3 elementowe), czyli:

Kombinacje? Nie ma mowy - przecież to ciągi, czyli uporządkowany szereg elementów tzn. (1,2,3)\(\displaystyle{ \not =}\)(3,2,1) itd. Kombinacje to natomiast zbiory, czyli np. {1,2,3}={3,1,2}.

Zauważ, że jest tam mowa o kombinacji pomnożonej przez permutacje. A jest to równoważne wariacji bez powtórzeń czyli otrzymujemy ciągi a nie zbiory jak napisałeś. Błąd polega na tym, że w zadaniu chodzi o wariacje z powtórzeniami.

[Mustapha Mehmed]

Jeszcze raz, tym razem do końca.


I przypadek-ciąg ma trzy różne elementy

\(\displaystyle{ \overline{A} = {n \choose 3} \cdot 2}\)
Wyjaśnienie: każda kombinacja uszeregowana rosnąco lub malejąco może być ciągiem monotonicznym

\(\displaystyle{ \overline{\Omega} = \frac{n!}{(n-3)!} =n(n-1)(n-2)}\)
Wyjaśnienie: Możliwości wyboru elementów ciągu to wariacja bez powtórzeń


\(\displaystyle{ P(A)= \frac{\overline{A}}{\overline{\Omega}} = \frac{\frac{n(n-1)(n-2)}{6} \cdot 2}{n(n-1)(n-2)} = \frac{1}{3}}\)

II przypadek-wyrazy ciągu mogą się powtarzać

\(\displaystyle{ \overline{\Omega}= n^{3}}\)

Tutaj rozbijemy wszystkie możliwości stworzenia ciągu monotonicznego na trzy rozłączne zdarzenia:
\(\displaystyle{ A}\)-ciąg jest stały(ma trzy równe elementy)
\(\displaystyle{ \overline{A} =n}\)
\(\displaystyle{ B}\)-ciąg ma dwa powtarzające się elementy
\(\displaystyle{ \overline{B} =n(n-1) \cdot 2}\),
gdzie \(\displaystyle{ n}\) oznacza możliwości wyboru dwóch powtarzających się elementów, a \(\displaystyle{ n-1}\) trzeciego-różnego od dwóch pozostałych; mnożymy przez \(\displaystyle{ 2}\), by uzyskać rosnący i malejący ciąg
\(\displaystyle{ C}\)-ciąg ma trzy różne elementy
\(\displaystyle{ \overline{C} = {n \choose 3} \cdot 2}\),
zdarzenie identyczne jak w przypadku I

Zdarzenie \(\displaystyle{ Z}\)-ciąg jest monotoniczny
\(\displaystyle{ P(Z)=P(A)+P(B)+P(C)= \frac{\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}}{\overline{\Omega}}=\frac{n+n(n-1) \cdot 2+ {n \choose 3} \cdot 2}{n^{3}}=\\=\frac{1+2(n-1+\frac{(n-1)(n-2)}{6})}{n^{2}}=\frac{1+2(n-1)(1+\frac{n-2}{6})}{n^{2}}}\)

[mat_61]

1. Skąd ten podział na przypadki? Dlaczego mielibyśmy rozpatrywać tylko ciągi różnoelementowe? W żaden sposób nie wynika to z treści zadania.

2. Przy dwóch powtarzających się elementach nie można uzyskać ciągu rosnącego/malejącego (co najwyżej nierosnący/niemalejący)

3. Z pewnością autor zadania pod pojęciem ciągów monotonicznych rozumie tylko ciągi rosnące lub malejące, ale nie stałe, niemalejące lub nierosnące. Wynika to chociażby ze wskazówki do zadania.

[Mustapha Mehmed]

Z pierwszym się zgodzę, z drugim też.
Oczywiście, chodziło mi o ciągi niemalejące i nierosnące.
Co do trzeciego...może ja jestem jakiś roszczeniowy, ale powinno to wynikać raczej z treści niż z odpowiedzi

[mat_61]

Oczywiście, że jednoznaczność zadania powinna wynikać z jego treści.

Niestety nie zawsze tak jest a niechlubną palmę pierwszeństwa należy przyznać właśnie zadaniom z rachunku p-stwa i kombinatoryki (i jakoś trzeba sobie z tym radzić ).