Matematyka.pl

Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ a _{n}= \frac{120}{n+1}}\) dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n 1}\). Ze zbioru liczb {\(\displaystyle{ {a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{11}}\)} losujemy kolejno trzy razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia
A - "wylosujemy trzy liczby całkowite, które będą kolejnymi wyrazami ciągu malejącego".

z góry dzięki

Najprościej będzie wyliczyć sobie pierwszych jedenaście wyrazów tego ciągu
Wówczas należy zauważyć, że losowanie zakończyć można jednym z trzech różnych sukcesów: \(\displaystyle{ (a_1=60, a_2=40, a_3=30)}\), \(\displaystyle{ (a_2=40, a_3=30, a_4=24)}\) lub \(\displaystyle{ (a_3=30, a_4=24, a_5=20)}\)

Jedynie te trzy, gdyż inne ciągi trzech kolejnych wyrazów \(\displaystyle{ a_n}\), przeplatają się z liczbami, które nie są całkowite (na przykład \(\displaystyle{ a_6=\frac{120}{7}}\) czy \(\displaystyle{ a_{10}=\frac{120}{11}}\))

W związku z tym \(\displaystyle{ P(A)=\frac{3}{n^k}}\)
A \(\displaystyle{ n^k}\) dlatego, że mamy do czynienia z wariacjami z powtórzeniami (losujemy ciąg (a więc kolejność ma znaczenie) trzech liczb, ze zwracaniem)

wielkie dzięki )