Witam!
Właśnie założyłem się z ojcem, o bardzo prosty, matematyczny problem. Jestem pewien swoich racji, jednak nawet rozrysowując drzewko całego zadania i wyliczając wszystko, nie byłem w stanie ich udowodnić, dlatego też proszę o pomoc autorytetów z tego zacnego forum ; ).
Sprawa przedstawia się tak:
W pewnej grze pierwszy gracz po przetasowaniu trzech kart (Asa i dwóch dziewiątek) i położeniu ich na stole koszulkami do góry, prosi drugiego gracza o wybranie jednej z nich. Zanim zobaczą, jaką kartę wybrał, gracz pierwszy odsłania jedna z pozostałych na stole i jeśli jest to dziewiątka, pozwala drugiemu na zmianę wybranej przez siebie karty. Gra, jak łatwo można się domyślić, polega na odnalezieniu Asa.
Pytanie jest takie - czy gracz drugi, zmieniając swój początkowy wybór, po odkryciu jednej z pozostałych kart zwiększa prawdopodobieństwo na trafienie asa?
Uważam, że nie. Proszę o pomoc w udowodnieniu tego, bądź obaleniu mojej tezy i zmieszaniu całego mojego matematyczno-logicznego wszechświata z błotem.
Zakład o wysoką stawkę ; )
Zakład o wysoką stawkę ; )
Ostatnio zmieniony 4 sty 2009, o 23:45 przez Ithindir, łącznie zmieniany 1 raz.
- adash
- Użytkownik
- Posty: 54
- Rejestracja: 12 gru 2007, o 01:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 12 razy
Zakład o wysoką stawkę ; )
Mi wydaje się, że szanse na odkrycie Asa są takie same. Jednak po obejrzeniu filmu 21, gdzie była scena pt. "wykład". Gościu też stwierdził, że zwiększa swoje szanse... Dlaczego? Nie wiem
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Zakład o wysoką stawkę ; )
To jest "Paradoks Monty Halla", na polskiej Wikipedii jest to dość pobieżnie opisane, na angielskiej jest znacznie więcej:
Urywek z polskiej Wiki:
Urywek z polskiej Wiki:
Załóżmy, że zawodnik wskazuje pierwotnie bramkę, za którą jest nagroda (zdarza się to z prawdopodobieństwem 1/3). Prowadzący program odsłoni wtedy jedną z pozostałych bramek i wówczas zmiana wyboru z pewnością doprowadzi do przegranej.
Jeżeli jednak zawodnik początkowo wskazuje bramkę pustą (a dzieje się tak z prawdopodobieństwem 2/3), wówczas prowadzący program musi odsłonić drugą z dwóch pustych bramek. Zmiana wyboru przez zawodnika w tym przypadku doprowadzi do pewnej wygranej.
Paradoks polega na tym, że intuicyjnie przypisujemy równe szanse dwu sytuacjom -- wskazanie wygranej w jednej z dwóch zakrytych ciągle bramek wydaje się "równie prawdopodobne" jak posiadanie bramki pustej, bo przecież "nic nie wiadomo". Tymczasem układ jest warunkowany przez początkowy wybór zawodnika i obie sytuacje nie pojawiają się równie często.
W pewnym sensie zmiana bramki zamienia miejscami prawdopodobieństwa – prawdopodobieństwo przegranej staje się prawdopodobieństwem wygranej i odwrotnie. Przy pierwszym wyborze łatwiej jest spudłować, zatem "strategia zmiany" prowadzi do łatwiejszej wygranej.
Ostatnio zmieniony 4 sty 2009, o 23:55 przez Sylwek, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Zakład o wysoką stawkę ; )
Tata ma rację.
Bez wzorów można uzasadnić to tak - jeśli wybraliśmy jakąś kartę i jej jeszcze nie odkryliśmy, to mamy szansę \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) , że to as, oraz szansę \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) , że as jest w tej dwuelementowej kupce niewybranej. Zatem sytuacja, w której wiemy która karta z tej drugiej kupki nie jest asem, powoduje, że - o ile jest w niej as - wiemy która z nich jest asem. Zatem jeśli zmienimy wybór, to będziemy mieć szansę na trafienia asa równą \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\).
Q.
Bez wzorów można uzasadnić to tak - jeśli wybraliśmy jakąś kartę i jej jeszcze nie odkryliśmy, to mamy szansę \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) , że to as, oraz szansę \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) , że as jest w tej dwuelementowej kupce niewybranej. Zatem sytuacja, w której wiemy która karta z tej drugiej kupki nie jest asem, powoduje, że - o ile jest w niej as - wiemy która z nich jest asem. Zatem jeśli zmienimy wybór, to będziemy mieć szansę na trafienia asa równą \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\).
Q.
Zakład o wysoką stawkę ; )
No tak, wszystko się rozstrzygnęło - nie jest to "Paradoks Monty Halla", gdyż uznałem, że tasujący (gracz 1) nie wie, która karta jest dziewiątką i jest prawdopodobieństwo, że wybierze asa i gra się skończy. Zreszta, zaznaczyłem to w samym zadaniu:
W podanym przez was paradoksie, "gracz 1" zawsze odkrywa "pustą bramkę" bądź "dziewiątkę".i jeśli jest to dziewiątka, pozwala drugiemu na zmianę wybranej przez siebie karty
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Zakład o wysoką stawkę ; )
Aha, rzeczywiście. W takim razie wychodzi, że te prawdopodobieństwa są takie same.
a) gracz nie zmienia wyboru - wówczas oczywiście szansa wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)
b) gracz zmienia wybór - wówczas jedyna sytuacja, która sprzyja wygranej, to gdy gracz na początku wylosuje dziewiątkę, a następnie bankier odkryje dziewiątkę - prawdopodobieństwo wynosi: \(\displaystyle{ \frac{2}{3} \frac{1}{2}=\frac{1}{3}}\)
a) gracz nie zmienia wyboru - wówczas oczywiście szansa wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)
b) gracz zmienia wybór - wówczas jedyna sytuacja, która sprzyja wygranej, to gdy gracz na początku wylosuje dziewiątkę, a następnie bankier odkryje dziewiątkę - prawdopodobieństwo wynosi: \(\displaystyle{ \frac{2}{3} \frac{1}{2}=\frac{1}{3}}\)