liczby od 1 do 1000

[bleze]

Losujemy jedną liczbę spośród liczb: 1, 2, 3, ..., 1000. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez 4 lub przez 9.

[sea_of_tears]

A - wylosowana liczba będzie podzielna przez 4
\(\displaystyle{ A=\{4,8,12,16,...,1000\}}\)
żeby obliczyć ilość elementów zbioru A, skorzystam z ciągu arytmetycznego :
\(\displaystyle{ a_1=4 \newline
r=4\newline
a_n=1000\newline
1000=4+(n-1)\cdot 4\newline
4n=1000\newline
n=250\newline
\newline
|A|=250}\)
B - wylosowana liczba jest podzielna przez 9
\(\displaystyle{ B=\{9,18,...,999\}\newline
b_1=9\newline
r=9\newline
b_n=999\newline
999=9+(n-1)\cdot 9\newline
999=9n\newline
n=111\newline
\newline
|B|=111}\)
\(\displaystyle{ A\cap B}\) wylosowana liczba jest podzielna przez 9 i przez 4
\(\displaystyle{ A\cap B =\{36,...,972\}\newline
|A\cap B|=27\newline
\newline
\newline
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\newline
P(A\cup B)=\frac{250}{1000}+\frac{111}{1000}-\frac{27}{1000}=\frac{334}{1000}=\frac{167}{500}}\)

[bleze]

jak policzyłaś iloczyn \(\displaystyle{ A\cap B}\)?

[sea_of_tears]

skoro liczba ma być podzielna przez 9 i przez 4 oznacza to, że ma być podzielna przez 36
czyli wiadomo że pierwszą napewno będzie 36 a ostatnią 972
\(\displaystyle{ c_1=36\newline
r=36\newline
c_n=972\newline
972=36+(n-1)\cdot 36\newline
972=36n\newline
n=27}\)
czyli takich liczb jest 27