Matematyka.pl

Ze zbioru liczb{1,2....15,16} losujemy kolejno trzy razy po jednej liczbie ze zwracaniem i oznaczamy kolejno x1,x2,x3/ Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, kiedy iloczyn x1*x2*x3 jest liczbą podzielną przez 3. Wiem, że w mianowniku będzie 4096 ( 16 do potęgi trzeciej). Mam problem z licznikiem wyrażenia.

3 jest liczbą pierwszą
Aby iloczyn \(\displaystyle{ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3}\) był podzielny przez 3, co najmneij jeden z czynników musi być podzielny przez 3.
Myślę, że lepiej obliczyć tu prawdop. zdarzenia przeciwnego (otrzymany iloczyn nie jest podzielny przez 3 - żadna z wylosowanych liczb nie jest podzielna przez 3):
\(\displaystyle{ P(A')=\frac{11^3}{16^3}=(\frac{11}{16})^3\\
P(A)=1-P(A')=1-(\frac{11}{16})^3=\frac{2765}{4096} \approx 0,68}\)

Jak rozwiązać podpunkt b) tego zadania: \(\displaystyle{ x_1 + x_2 + x_3}\) jest liczbą podzielną przez 3?

Rozwiązując podpunkt b rozważyłem 4 przypadki :

- Każda liczba sumy daje podczas dzielenia przez 3 resztę 1,
takich liczb w podanym zbiorze jest 6, a więc:
\(\displaystyle{ 6 ^{3}}\)

-Każda liczba sumy podczas dzielenia przez 3 daje resztę 2,
takich liczb mamy 5;
\(\displaystyle{ 5 ^{3}}\)


- Każda liczba sumy dzieli się przez 3,
takich liczb mamy 5;
\(\displaystyle{ 5 ^{3}}\)


- jedna liczba sumy podczas dzielenia przez 3 daje resztę 1 ,druga daje resztę 2, trzecia dzieli się przez 3,
\(\displaystyle{ 6*5 ^{2}}\)

Czy moje rozumowanie jest poprawne?
Według odpowiedzi w czwartym przypadku powinno być \(\displaystyle{ 6 ^{2}*5 ^{2}}\).
Może ktoś wyjaśnić dlaczego?

Odpowiedź jest poprawna. Masz \(\displaystyle{ x _{1} ,x _{2} ,x _{3}}\)
Rozważyłeś że będą wylosowane w tej kolejności tylko i wyłącznie: najpierw liczba dająca resztę 1, potem 2, a potem dzieląca się na trzy. Rzeczywiście takich przypadków jest \(\displaystyle{ 3!}\) a więc ta brakująca szóstka