zadanie z genetyki, prawdopodobieństwo tej samej płci.

[allure]

Kotki rodzą cztery kotki w miocie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kotki urodzonej w jednym miocie będą tej samej płci?

Zadanie jest niezwykle kontrowersyjne w naszej klasie, część klasy otrzymuje jeden wynik, w niej ja jestem ;], a część klasy, nauczyciel od biologi, a nawet w odpowiedziach książki poświęconej maturze z bioli drugi wynik. Ponieważ nauczyciel od biologii nie mógł nas przekonać to poszedł skonsultować się z nauczycielką od matematyki, która też twierdzi jak on.

Czy moglibyście podać wynik taki jak wy sądzicie i uargumentować, tak żebym ja został przekonany, albo tak abym mógł odpowiednio przekonać nauczyciela?

Mojego wyniku na razie nie zdradzę potem będę się kłócił, że mój jest prawdziwy ;P.

Z góry dziękuję.

[Wicio]

Chyba tak
\(\displaystyle{ P(A)=2 \frac{ {1 \choose 1} {1 \choose 1} {1 \choose 1} {1 \choose 1} }{{2 \choose 1} {2 \choose 1} {2 \choose 1} {2 \choose 1}} = \frac{1}{8}}\)

[allure]

No widzisz i taka też jest moja odpowiedź na to zadanie, ale mój nauczyciel od biologi sądzi inaczej, nauczycielka z matmy też inaczej, że to niby 2/5, bo może być:
0 samców 4 samic
1-3
2-2-
3-1
4-0

Czyli pięć możliwości a my chcemy dwie z nich czyli 2/5, największa bzdura, to zadanie jest takie same jak z monetą rzucamy dwa razy. Jakie jest prawdopodobieństwo że wypadnie jeden orzeł jedna reszka no własnie według nich 1/3, a to przecie bzdura,

Brak mi argumentów jakie mogą ich przekonać,

O tym własnie zdarzeniu z monetów tez mówiłem
O tym że o tym ze w pierwszym wypadku powstanie samiec ma się nijak do tego co się stanie w drugim przypadku itd.

Ale to na nic, oboje nauczycieli stoi za błędna odpowiedzią, a weź ich teraz wyprowadz z niej,..

[oluch-na]

Coś jest nie tak z tym zadaniem.
Na pewno nie jest ważna kolejność przychodzenia na świat, więc wariacje i permutacje odpadają, pozostają kombinacje, (a czasami mnożenie kombinacji sprawia, ze kolejność jest ważna)
Narysowałam drzewko, ale ono tez zakłada kolejność - więc odpada. W końcu mnie natchnęło, oto moja interpretacja zadania:
\(\displaystyle{ \Omega= {4 \choose 1} + {3 \choose 1} {1 \choose 1} +{2 \choose 1}{2 \choose 1} +{1 \choose 1} {3 \choose 1}+ {4 \choose 1}=20}\)
\(\displaystyle{ A={4 \choose 1}+{4 \choose 1}=8}\)
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{2}{5}}\)

[allure]

Argh... mamy 4 przypadki i każdy jest niezależny od siebie, prawdopodobieństwo wystąpienia jednej z danych płci w naszym przypadku jest równy 0.5
tak więc:

\(\displaystyle{ \frac{1+1}{2 2 2 2}=\frac{1}{8}}\)

Kolejność jest ważna! a mianowicie nie możesz przyjąć że (niech + to kobieta a minus - to facet)
(+---) jest równoważne (-+--) bo to dwie odmienne sytuację, a nasza jak już wspomniałem składa się z 16 różnych a 2 sytuacje są w których jest to czego chcemy.

[oluch-na]

Odpowiadamy na pytanie: Jakie jest prawdopodobieństwo, że kotki urodzonej w jednym miocie będą tej samej płci?

A NIE na pytanie: Na ile sposobów kotka może urodzić 4 kocięta tak, aby miot składał się ze zwierzątek tej samej płci; oblicz prawdopodobieństwo tego zdarzenia.

[Wicio]

Jednak moje rozwiązanie jest niepoprawne ;p

Rozpatrujemy tylko 5 opcji : 4 samce, 3 samce, 2samce, 1samiec, 0 samców - a dwie z nich pasują nam więc 2/5

Bo przecież nie ma znaczenia kolejność i :
samiec,samica,samica,samica to to samo co samica,samiec,samica , samica etc

[Sylwek]

Rozwiązanie z pierwszego postu jest poprawne - przecież to dokładnie to samo, co jakbyśmy zastąpili kotka monetą. Każdy kotek może być samcem lub samicą - wszystkich możliwości jest \(\displaystyle{ 2^4}\), interesujące nas to 4 kotki lub 4 samice - czyli 2 zdarzenia sprzyjające:

\(\displaystyle{ P(A)=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}}\)

Zapraszam do porzucania sobie monetą, jak ktoś nie wierzy w teorię prawdopodobieństwa - polecam polecić to nauczycielom, bo że to jest zadanie analogiczne do rzutu monetą, to powinni uwierzyć

to zadanie jest takie same jak z monetą rzucamy dwa razy. Jakie jest prawdopodobieństwo że wypadnie jeden orzeł jedna reszka no własnie według nich 1/3, a to przecie bzdura,

nawet miałem to przytoczyć

[allure]

Ok, wielkie dzięki Sylwek, obroniłeś honor matematyki, teraz moja kolej będzie w szkole.

[osiemnastka]

Oluch-na bardzo dobrze rozpisała.
Zdarzenie A=8, ponieważ może się urodzić 4 samice czyli 4 koty wybieramy z jednej płci \(\displaystyle{ {4\choose 1}}\) lub 4 samce co oznacza to samo wybieramy też cztery koty z jednej płci \(\displaystyle{ {4\choose 1}\)
A skoro mamy to lub to musimy wykonać dodawanie: \(\displaystyle{ A={4\choose 1}+{4\choose 1}=8}\)
Tak samo jest ze zbiorem wszystkich zdarzeń. Możemy mieć wszystkie samice lub wszystkie samce i to będzie tak jak wyżej plus jeszcze 3 możliwości:
jedna samica i 3 samce (czyli wybieramy jednego z jednej płci i 3 też z jednej płci a skoro to i to musimy wykonać mnożenie, czyli \(\displaystyle{ {1\choose 1} {3\choose 1}}\)), tasamo będzie w przypadku gdy będzie 3 samice i jeden samiec. No i ostatni przypadek, gdy będzie 2 samice i 2 samce (wybieramy 2 z jednej płci i 2 z drugiej płci, czyli \(\displaystyle{ {2\choose 1} {2\choose 1}}\)
Czyli prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{2}{5}}\)

[ Dodano: 17 Grudnia 2008, 15:14 ]
I może jeszcze taki najprostszy rozpis z pierwszych lekcji.
x-samiec, y-samica
\(\displaystyle{ \Omega}\)={(x,x,x,x),(x,x,x,y),(x,x,y,y),(x,y,y,y),(y,y,y,y)}
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=5}\)
A={(x,x,x,x),(y,y,y,y)}
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}=2}\)
\(\displaystyle{ \frac{A}{\Omega}}\)=\(\displaystyle{ \frac{2}{5}}\)
Kolejność jest bez znaczenia, bo jeżeli będzie 1 samica i 3 koty to czy ona urodzi się pierwsza czy druga to nadal to będzie 1 samica i 3 samce. Dla mnie nie ma co dyskutować nad tym zadaniem:)

[allure]

Mogą być 5 możliwości tak macie rację. Ale czy są one jednakowo prawdopodobne? Czy tak jest?

Intuicyjnie, masz 100 kotów. Jakie jest prawdopodobieństwo że będziesz miała 50 samców, 50 samic, a jakie że będziesz miała 100 samców, żadnej samicy

Masz 4 koty, jakie jest prawdopodobieństwo że będą po 2 samice po 2 samców, czy jest takie same jak te że będą same samice?

Jeżeli nie przekonuje was, że kolejność jest ważna, to ja podkreślę co innego, Każdy poród jest niezależny(!) od drugiego

Niech Y to samce a X samice:
{XXXX}, {YXXX}, {XYXX}, {XXYX}, {XXXY} Te 5 przypadków jest tak samo prawdopodobnych, to my interpretujemy je jako, że 4 ostatnie znaczą to samo, ale to jest nasza interpretacja, bo faktycznie rezultat każdej z nich będzie taki sam.
Prawdopodobieństwo wystąpienia każdej z powyższych sytuacji jest takie same, ale prawdopodobieństwo ze będzie jeden samiec jest 4 razy większe.

[Sylwek]

Zapraszam do udziału w eksperymencie losowym. Weźmy 4 dowolne monety, wyrzućmy je jednocześnie do góry w jednej chwili. Jest to analogiczna sytuacja do sytuacji zadania.

Jeśli wypadną cztery orzełki lub cztery reszki - to jakby urodziły się 4 kotki jednej płci. Niech ta ilość wynosi A. U mnie na 40 rzutów 7 razy wypadły 4 reszki bądź 4 orzełki (pomińmy wszelkie niedoskonałości stołu itp.). Liczbie \(\displaystyle{ \frac{7}{40}}\) znacznie bliżej do \(\displaystyle{ \frac{5}{40}}\) niż do \(\displaystyle{ \frac{16}{40}}\), nieprawdaż?

Kolejność jest bez znaczenia, bo jeżeli będzie 1 samica i 3 koty to czy ona urodzi się pierwsza czy druga to nadal to będzie 1 samica i 3 samce.

To tak samo jak w:

to zadanie jest takie same jak z monetą rzucamy dwa razy. Jakie jest prawdopodobieństwo że wypadnie jeden orzeł jedna reszka no własnie według nich 1/3, a to przecie bzdura,

Żaden kot nie pamięta, jaki się urodził przed nim - te porody są niezależne.

[osiemnastka]

Ok. Jednak kolejność ma jakieś znaczenie, ponieważ kotki nie rodzą się wszystkie na raz ale jeden za drugim. Nie policzyłam dokładnie rozwiązania oluch-ny a wychodzi u niej moc Omegi 18 a nie jak napisała 20:(
Moc A jest 8 jak opisałam wcześniej, ale jeżeli ma być jeden samiec i trzy samice to jeszcze musimy pomnożyć przez 4 i tak samo jak jedna samica i 3 samce, a jeżeli 2 samice i 2 samce to przez 6, bo jest sześć możliwości:)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=2 {4\choose 1}+4 2 {1\choose 1} {3\choose 1}+6 {2\choose 1} {2\choose 1}=56}\)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}={4\choose 1} + {4\choose 1}=8}\)
\(\displaystyle{ \frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}} = \frac{8}{56} = \frac{1}{7}}\)
\(\displaystyle{ \Omega}\)={(xxxx),(x,x,x,y),(x,x,y,x),(x,y,x,x),(y,x,x,x),...}
Czyli jeszcze inny wynik. Chyba, że pomyliłam się w obliczeniach.

[ Dodano: 18 Grudnia 2008, 11:01 ]
Coś pokręciłam. Kombinacje są niepotrzebne.
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=2+4 2+6=18}\)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}=2}\)
Czyli wariacje z powtórzeniami:)
Prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\)
Długo to trwało ale w końcu sobie przypomniałam jak to się liczy:)
Zwracam honor:)