funkcje wektorów

[mmarry]

X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na odcinku
\(\displaystyle{ (c-\frac{1}{2},c+\frac{1}{2})}\), c należy do liczb rzeczywistych. wyznaczyć gęstość X-Y.
Liczę:
\(\displaystyle{ h(x)=\int_{c-\frac{1}{2}}^{c+\frac{1}{2}}f(x+y)dy=\int_{x+c-\frac{1}{2}}^{x+c+\frac{1}{2}}f(z)dz}\).
I wynik ma być:
\(\displaystyle{ h(x)={ 0, gdy\ x1; (x+1), gdy\ -1}\)

[Janek Kos]

Chyba dobrze byłoby zamienić pewne zmienne na inne, skorzystać ze splotu i zadbać o odpowiednie przedziały całkowania. Niektóre obliczenia pominę, bo są proste.

\(\displaystyle{ X,Y \sim U\big[c-\frac{1}{2},c+\frac{1}{2}\big]}\)

\(\displaystyle{ Z=-Y\ \ \ =>\ \ \ F_Z(z)=1-F_Y(-z)\ \ \ dla\ \ \ z\in[-\frac{1}{2}-c,\frac{1}{2}-c]\ \ \ F_Z(z)=z+\frac{1}{2}+c}\)

\(\displaystyle{ f_Z(z)=1\ \ \ dla\ \ \ z\in[-\frac{1}{2}-c,\frac{1}{2}-c]}\)

Chcemy znać gęstość \(\displaystyle{ X-Y}\) czyli gęstość zmiennej \(\displaystyle{ W=X+Z}\). Nietrudno zauważyć, że \(\displaystyle{ w\in[-1,1]}\).

\(\displaystyle{ c-\frac{1}{2}\leq x\leq c+\frac{1}{2}\ \ \ oraz\ \ \ -\frac{1}{2}-c\leq z\leq \frac{1}{2}-c\ \ \ =>\ \ \ -\frac{1}{2}-c\leq w-x\leq \frac{1}{2}-c\\ w+c-\frac{1}{2}\leq x\leq w+c+\frac{1}{2}}\).

Teraz warto zrobić rysunek. Osią pionową niech będą x-ksy, a poziomą w-ksy:). Na osi pionowej zaznaczyć przykładowe punkty \(\displaystyle{ c-\frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ c+\frac{1}{2}}\). Trzeba jeszcze narysować wykresy funkcji \(\displaystyle{ x=w+c-\frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ x=w+c+\frac{1}{2}}\) Gdy już widać jak zmienia się x, od razu można napisać, że:

Dla \(\displaystyle{ w\in[-1,0]}\)

\(\displaystyle{ f(w)= t_{c-\frac{1}{2}}^{w+c+\frac{1}{2}}1dx}\)

Dla \(\displaystyle{ w\in[0,1]}\)

\(\displaystyle{ f(w)= t_{w+c-\frac{1}{2}}^{c+\frac{1}{2}}1dx}\)

Rysunki są zawsze pomocne.