Mam takie zadanie i nie wiem za bardzo jak je rozwiązać:
W każdej z dwóch urn jest n razy więcej kul białych niż czarnych. Losujemy po jednej kuli z każdej urny i wkladamy je do trzeciej urny, początkowo pustej. Wyznacz najmniejsze n przy którym prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z trzeciej urny przy losowaniu z niej jednej kuli jest większe od 6/7.
Proszę o pomoc.
Niezależność zdarzeń
-
tarnoś
- Użytkownik
- Posty: 341
- Rejestracja: 31 gru 2004, o 15:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 29 razy
Niezależność zdarzeń
Powiedzmy ze oznaczamy przez x - ilośc kul czarnych (to sie i tak zaraz "skróci")
Wylosowanie z jednej urny kuli bialej to
\(\displaystyle{ \frac{nx}{(n+1)x}}\)
Wylosowanie z jednej urny kuli czarnej to
\(\displaystyle{ \frac{x}{(n+1)x}}\)
Wiec wylosowanie jednej czarnej i jednaj bialej to:
\(\displaystyle{ \frac{x}{(n+1)x} \; \cdot \; \frac{nx}{(n+1)x}}\)
Zaś dwóch białych to:
\(\displaystyle{ { ( \frac{nx}{(n+1)x} ) }^2}\)
Czyli prawdopodobieństwo wylosowania białej z 3. urny to (skracajac "x"):
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \; \cdot \; \frac{1}{n+1} \; \cdot \; \frac{n}{n+1} \; + \; { ( \frac{n}{n+1} ) }^2 > \frac{6}{7}}\)
Po wymnożeniu itd mamy \(\displaystyle{ n^2 -5n -6 > 0}\)
Miejsca zerowe to -1 oraz 6, parabola skieerowana ramionami do góry czyli wartości dodatnie mamy już dla n=7 (biorąc pod uwagę liczby naturalne) (chociaż nie gwarantuje ze nie ma bledu obliczeniowego gdzies po drodze)
Wylosowanie z jednej urny kuli bialej to
\(\displaystyle{ \frac{nx}{(n+1)x}}\)
Wylosowanie z jednej urny kuli czarnej to
\(\displaystyle{ \frac{x}{(n+1)x}}\)
Wiec wylosowanie jednej czarnej i jednaj bialej to:
\(\displaystyle{ \frac{x}{(n+1)x} \; \cdot \; \frac{nx}{(n+1)x}}\)
Zaś dwóch białych to:
\(\displaystyle{ { ( \frac{nx}{(n+1)x} ) }^2}\)
Czyli prawdopodobieństwo wylosowania białej z 3. urny to (skracajac "x"):
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \; \cdot \; \frac{1}{n+1} \; \cdot \; \frac{n}{n+1} \; + \; { ( \frac{n}{n+1} ) }^2 > \frac{6}{7}}\)
Po wymnożeniu itd mamy \(\displaystyle{ n^2 -5n -6 > 0}\)
Miejsca zerowe to -1 oraz 6, parabola skieerowana ramionami do góry czyli wartości dodatnie mamy już dla n=7 (biorąc pod uwagę liczby naturalne) (chociaż nie gwarantuje ze nie ma bledu obliczeniowego gdzies po drodze)