Prawdopodobienstwo wybuchu gazu i dzialania alarmu

thesebo · Post autor: **thesebo** » 13 gru 2008, o 13:19

Kolejne proste zadanko, ktore jakos nie umiem doprowadzic do konca:

Prawdopodbienstwo wybuchu gazu w kopalni wynosi 0,015. W kopalni jest zainstaloawny system alarmowy, ktory w sytuacji zagrozenia niestety zawodzi w 2,5% przypadkow. Falszywy alarm za to zdarza sie w 4% przypadkow. Zalozmy, ze wlacza sie alarm. Jakie jest prawdopodobienstwo ze jest on falszywy.

Wygada mi to na prawdopodbienstwo warunkowe, wiec:
A - wybuch
P(A) = 0,015
B - alarm zawodzi
C - alarm falszywy

Czyli musze chyba obliczyc prawdopodbienstow tego, ze alarm byl falszywy pod warunkiem, ze alarm nie zawiodl (=dzialal) i ze wybuchu nie bylo. Czyli sa dwa warunki, nie wiem, czy mozna to jakos podstawic do jednego wzoru warunkowego, czy trzeba to rozbic na dwa, biorac pod uwage najpierw jeden warunek a pozniej drugi (?)

pomoc mile widziana, thx!

Janek Kos · Post autor: **Janek Kos** » 14 gru 2008, o 00:38

Z - zadziała alarm
G - jest gaz

\(\displaystyle{ P(Z|G)=0.975\ \ \ P(G)=0.015}\)

\(\displaystyle{ P(Z|G')=0.04\ \ \ P(G')=0.985}\)

Chcemy znać \(\displaystyle{ P(G'|Z)=?}\)

\(\displaystyle{ P(G'|Z)=\frac{P(Z|G')\cdot P(G')}{P(Z|G)\cdot P(G)+P(Z|G')\cdot P(G')}=...}\)

thesebo · Post autor: **thesebo** » 15 gru 2008, o 21:04

calkowicie nie kumam skad wzial sie ten mianownik... jakies wyjasnienie byloby mile widziane.

z gory thx

Janek Kos · Post autor: **Janek Kos** » 15 gru 2008, o 21:13

Wzór na prawdopodobieństwo warunkowe:

\(\displaystyle{ P(G'|Z)=\frac{P(G'\cap Z)}{P(Z)}}\)

Wzór na prawdopodobieństwo całkowite:

\(\displaystyle{ P(Z)=P(Z|G)\cdot P(G)+P(Z|G')\cdot P(G')}\)

thesebo · Post autor: **thesebo** » 15 gru 2008, o 21:22

wynik wyszedl mi 0,729 i wydaje mi sie ze to duuuzo, stad moje pytanie czy ten mianownik na pewno jest tak jak trzeba...

Ateos · Post autor: **Ateos** » 15 gru 2008, o 21:32

a to nie jest przypadkiem wzór Bayes'a ? jakoś znajomo wygląda

Janek Kos · Post autor: **Janek Kos** » 15 gru 2008, o 21:34

Bo słabo wczytujesz się w to zadanie. Gaz wybucha w kopalni z prawdopodobieństwem 0.015, a alarm dzwoni bez powodu z prawdopodobieństwem 0.04, czyli prawie 3 razy częściej. Teraz dla uproszczenia wyobraź sobie urnę, w której jest jedna kula biała i 3 czarne. Prawdopodobieństwo wylosowania czarnej jest trzy razy większe niż białej i wynosi...

[ Dodano: 15 Grudnia 2008, 21:38 ]
Oczywiście zawsze można powiedzieć, że jest to wzór Bayes'a, choć raczej niewiele pomoże to w zrozumieniu rozwiązania.

thesebo · Post autor: **thesebo** » 15 gru 2008, o 21:45

thx, no fakt, grunt to bezbledna interpretacja... dzieki za dobre zobrazowanie... pkt dla Ciebie

pzdr!