Niech X ma rozkład jednostajny na [-2,2]. Znaleźć rozkład\(\displaystyle{ Y = X^{2}}\) Obliczyć wartość oczekiwaną i
odchylenie standardowe Y.
Nie mam bladego pojęcia jak ruszyć to zadanie, proszę Was o pomoc!!
Rozkład jednostajny
Rozkład jednostajny
Oznaczmy:
\(\displaystyle{ f}\)-gęstość zm. los X
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ g(x)=x^{2}}\)
Podzielmy zb. \(\displaystyle{ [-2,2]}\)na zbiory wzajemnie rozłączne i takie ,że g jest na nich monotoniczna i różniczkowalna.
\(\displaystyle{ \Phi_{1}=(-2,0);\Phi_{1}=(0,2)}\)
\(\displaystyle{ g(\Phi_{1})=(0,4)=\Psi_{1};g(\Phi_{2})=(0,4)=\Psi_{2}}\)
Rozbicie R generowane przez zbiory \(\displaystyle{ \Psi_{1};\Psi_{2}}\) ma postać:
\(\displaystyle{ B_{1}=(0,4)}\)
Obliczamy:
\(\displaystyle{ h_{1}(y)=g_{|\Phi_{1}}^{-1}(y)=-\sqrt{y}\quad ;y\in (0,4)}\)
\(\displaystyle{ h_{2}(y)=g_{|\Phi_{2}}^{-1}(y)=\sqrt{y}\quad ;y\in (0,4)}\)
\(\displaystyle{ h_{1}^{'}(y)=-\frac{1}{2\sqrt{y}}\quad ;y\in (0,4)\quad h_{2}^{'}(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}\quad ;y\in (0,4)}\)
Gęstość Y jest równa:
\(\displaystyle{ f_{y}=\frac{1}{4}|-\frac{1}{2\sqrt{y}}|+\frac{1}{4}|\frac{1}{2\sqrt{y}}|=\frac{1}{4\sqrt{y}}\quad ;y\in (0,4)}\)
Wartość oczekiwana:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}Y=\int\limits_{0}^{4}x\frac{1}{4\sqrt{x}}dx=\frac{1}{16}}\)
Odchylenie standardowe:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}^{2}Y=\int\limits_{0}^{4}x^{2}\frac{1}{4\sqrt{x}}dx=\frac{16}{5}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{D^{2}Y}=\sqrt{\frac{16}{5}-\frac{1}{16^{2}}}{}}\)
Jeżeli się gdzieś pomyliłem to piszcie.
\(\displaystyle{ f}\)-gęstość zm. los X
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ g(x)=x^{2}}\)
Podzielmy zb. \(\displaystyle{ [-2,2]}\)na zbiory wzajemnie rozłączne i takie ,że g jest na nich monotoniczna i różniczkowalna.
\(\displaystyle{ \Phi_{1}=(-2,0);\Phi_{1}=(0,2)}\)
\(\displaystyle{ g(\Phi_{1})=(0,4)=\Psi_{1};g(\Phi_{2})=(0,4)=\Psi_{2}}\)
Rozbicie R generowane przez zbiory \(\displaystyle{ \Psi_{1};\Psi_{2}}\) ma postać:
\(\displaystyle{ B_{1}=(0,4)}\)
Obliczamy:
\(\displaystyle{ h_{1}(y)=g_{|\Phi_{1}}^{-1}(y)=-\sqrt{y}\quad ;y\in (0,4)}\)
\(\displaystyle{ h_{2}(y)=g_{|\Phi_{2}}^{-1}(y)=\sqrt{y}\quad ;y\in (0,4)}\)
\(\displaystyle{ h_{1}^{'}(y)=-\frac{1}{2\sqrt{y}}\quad ;y\in (0,4)\quad h_{2}^{'}(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}\quad ;y\in (0,4)}\)
Gęstość Y jest równa:
\(\displaystyle{ f_{y}=\frac{1}{4}|-\frac{1}{2\sqrt{y}}|+\frac{1}{4}|\frac{1}{2\sqrt{y}}|=\frac{1}{4\sqrt{y}}\quad ;y\in (0,4)}\)
Wartość oczekiwana:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}Y=\int\limits_{0}^{4}x\frac{1}{4\sqrt{x}}dx=\frac{1}{16}}\)
Odchylenie standardowe:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}^{2}Y=\int\limits_{0}^{4}x^{2}\frac{1}{4\sqrt{x}}dx=\frac{16}{5}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{D^{2}Y}=\sqrt{\frac{16}{5}-\frac{1}{16^{2}}}{}}\)
Jeżeli się gdzieś pomyliłem to piszcie.