zadanie ze zmienną losową

[rObO87]

Mamy 4 urny typu A i 8 urn typu B. W każdej urnie A jest 6 kul białych i i 4 czarne, a w każdej urnie B 3 kule białe i 7 kul czarnych. Losujemy ze zwracaniem 4 razy urnę, a z każdej urny również ze zwracaniem jedną kulę. Napisać rozkład zmiennej losowej dla wylosowania kuli białej i obliczyć EX i DX.
To ostanie to kazdy policzy, ale mam problem z rozpisaniem tej zmiennej...
Na rysunku jest to co wiedziałem jak zrobić, nie wiem tylko jak z prawdopodobieństem.

[Janek Kos]

Mamy 4 urny typu A i 8 urn typu B...

P(A)-wylosowanie urny typu A = 1/3
P(B)-wylosowanie urny typu B = 2/3
P(b|A) - prawd. wylosowania baiłej pod warunkiem, że jesteśmy w urnach typu A=3/5
P(b|B) - prawd. wylosowania baiłej pod warunkiem, że jesteśmy w urnach typu B=3/10

p=P(b)=P(b|A)P(A)+P(b|B)P(B)=1/5+1/5=2/5 - prawdop. wylosowania białej w jednym losowaniu, ale to już ładnie policzyłeś na drzewie.

Żeby wypełnić twoją tabelkę trzeba skorzystać z rozkładu dwumianowego, \(\displaystyle{ P(x=k)={n\choose k}{\frac{2}{5}}^k{\frac{3}{5}}^{(n-k)}\ gdzie\ p=2/5\ i\ \ n=4\ k=1,2,3,4.}\)
Np:. Prawdopodobieństwo, że 4 razy wyciągniesz białą, co wg naszych oznaczeń daje k=4, wynosi:
\(\displaystyle{ P(x=4)={4\choose 4}{\frac{2}{5}}^4{\frac{3}{5}}^0}\) itd dla k=1,2,3. Pozdrawiam.

[rObO87]

czyli wystarczyło zastosować twierdzenie Bernouliniego?

[Janek Kos]

Tak. Te losowania są ze zwracaniem, zarówno urn jak i kul, więc to prawdopodobieństwo, to poprostu prawdop. kolejnych sukcesów w zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym (Bernoulliego).