[rozwiązane] Wybór delegacji z chłopców i dziewcząt -zadanie

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
loonatic
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 6 sty 2008, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wieruszów
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 7 razy

[rozwiązane] Wybór delegacji z chłopców i dziewcząt -zadanie

Post autor: loonatic »

Mam do rozwiązania następujące zadanie:

Z grupy 6 chłopców i 4 dziewcząt wybieramy 3 osoby. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wśród wybranych osób będzie:
a) co najmniej jeden chłopiec,
b) co najwyżej jedna dziewczyna.


Wg. książki odpowiedzi to odpowiednio: a) \(\displaystyle{ \frac{29}{30}}\) i b) \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\), niestety nie wiem jak do tego dojść. Oto moje rozumowanie:

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}={10 \choose 3}=120}\) - bo wybieramy 3-elementowy ciąg z 10-elementowego zbioru, taka jest łączna liczba wszystkich możliwych 3-osobowych delegacji

a) Mamy mieć co najmniej jednego chłopaka, więc wybieramy go ze wszystkich 6. (\(\displaystyle{ 6 \choose 1}\)), następnie zostają nam dwa wolne miejsca, w każde z nich może przyjść dowolna osoba (chłopak lub dziewczyna), więc wybieramy 2 elementowe ciągi ze zbioru 9 elementowego (bo jednego chłopaka już wzięliśmy): \(\displaystyle{ 9 \choose 2}\).
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}={6 \choose 1} {9 \choose 2}=216}\) - ale przecież liczba elementów zbioru zdarzenia nie może być większa niż liczba elementów zbioru całego doświadczenia losowego...

b) Ilość delegacji złożonych z samych chłopaków (0 dziewczyn): \(\displaystyle{ 6 \choose 3}\)
Ilość delegacji złożonych z jednej dziewczyny i 2 chłopaków: \(\displaystyle{ {4 \choose 1}\cdot{6 \choose 2}}\)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{B}}={6 \choose 3} + {4 \choose 1}\cdot{6 \choose 2}=45}\)
\(\displaystyle{ P(B)=\frac{\overline{\overline{B}}}{\overline{\overline{\Omega}}}=\frac{45}{120}=\frac{3}{8}}\) - też się nie zgadza z odpowiedzią.

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania i poprawienie błędów oraz pokazanie prawidłowego toku rozumowania.
Ostatnio zmieniony 22 lis 2008, o 22:46 przez loonatic, łącznie zmieniany 2 razy.
Awatar użytkownika
oluch-na
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 253
Rejestracja: 3 mar 2007, o 19:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wyszków
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 12 razy

[rozwiązane] Wybór delegacji z chłopców i dziewcząt -zadanie

Post autor: oluch-na »

w podpunkcie a) zrobiłeś błąd logiczny - o który wytłumaczenie sama prosiłam Zobacz tu

\(\displaystyle{ \Omega}={10 \choose 3}=120}\)
\(\displaystyle{ A={6 \choose 1}{4 \choose 2} + {6 \choose 2} {4 \choose 1} +{6 \choose 3} {4 \choose 0} = 116}\)
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{116}{120} =\frac{29}{30}}\)

[ Dodano: 22 Listopada 2008, 21:23 ]
b) pomyliłeś się w obliczeniach:
\(\displaystyle{ B={6 \choose 3} + {4 \choose 1}\cdot{6 \choose 2}=20 + 15*4=80}\)
loonatic
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 6 sty 2008, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wieruszów
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 7 razy

[rozwiązane] Wybór delegacji z chłopców i dziewcząt -zadanie

Post autor: loonatic »

oluch-na pisze:\(\displaystyle{ A={6 \choose 1}{4 \choose 2} + {6 \choose 2} {4 \choose 1} +{6 \choose 3} {4 \choose 0} = 116}\)
Mogłabyś to szerzej skomentować (chodzi o logikę, nie obliczenia), bo jakoś nie potrafię tego wyłuskać z podrzuconego tematu (nad różnymi zadaniami z prawdopodobieństwa siedzę już od godziny 15:00, więc trochę przestaję myśleć)?
oluch-na pisze:b) pomyliłeś się w obliczeniach:
\(\displaystyle{ B={6 \choose 3} + {4 \choose 1}\cdot{6 \choose 2}=20 + 15*4=80}\)
Oczywiście... Nawet miałem to 4 przy mnożeniu, ale pominąłem w następnej linijce i napisałem 20+15 zamiast 20+ 4*15. Dzięki .

[ Dodano: 22 Listopada 2008, 21:47 ]
Chyba właśnie zrozumiałem podpunkt a), zaraz się w to zagłębię i napiszę swoje rozumowanie. Póki co nie musisz wyjaśniać tego a).

[ Dodano: 22 Listopada 2008, 21:54 ]
W a) są trzy przypadki, tak jak napisałaś:
1 chłopak i 2 dziewczyny:
\(\displaystyle{ {6 \choose 1}{4 \choose 2}}\)
2 chłopaków i 1 dziewczyna:
\(\displaystyle{ {6 \choose 2}{4 \choose 1}}\)
3 chłopaków i 0 dziewczyn:
\(\displaystyle{ {6 \choose 3}{4 \choose 0}}\)

Tylko nadal zastanawia mnie dlaczego to tak jest? Czemu każdy przypadek musi zostać rozważony oddzielnie? Dla mnie bardziej logiczny wydawał się mój (błędny oczywiście) tok rozumowania...
Awatar użytkownika
oluch-na
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 253
Rejestracja: 3 mar 2007, o 19:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wyszków
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 12 razy

[rozwiązane] Wybór delegacji z chłopców i dziewcząt -zadanie

Post autor: oluch-na »

Spróbuję ci to jak najprościej wytłumaczyć:

I. Zakładamy, ze wybieramy od razu trzech chłopców, mamy więc:
\(\displaystyle{ {6 \choose 3}}\)

II. W tym przypadku wybieramy najpierw jednego chłopca,
następnie zostają nam dwa wolne miejsca, w każde z nich może przyjść dowolna osoba (chłopak lub dziewczyna), więc wybieramy 2 elementowe ciągi ze zbioru 9 elementow
Jednak my zakładamy teraz, że uda nam się "wylosować" 2 chłopców z pozostałych, mamy więc:
\(\displaystyle{ {6 \choose 1} {5 \choose 2}}\)

W obu przypadkach wybraliśmy 3 chłopców z 6. Sprawdźmy:
\(\displaystyle{ {6 \choose 3}={6 \choose 1} {5 \choose 2}}\)
\(\displaystyle{ 20=6 10}\)
\(\displaystyle{ 20 60}\)

Dlaczego?
W pierwszym przypadku wybieramy Antka, Julka i Damiana.
W drugim przypadku jest różnica czy wybierzesz Antka, a później Julka i Damiana; czy Damiana, a następnie Antka i Julka - gdy liczy się kolejność, mamy o wiele więcej możliwości.[/quote]

[ Dodano: 22 Listopada 2008, 22:02 ]
Dlatego każdy przypadek należy obliczać oddzielnie, a następnie wszystkie sumować
loonatic
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 6 sty 2008, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wieruszów
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 7 razy

[rozwiązane] Wybór delegacji z chłopców i dziewcząt -zadanie

Post autor: loonatic »

Nadal tego nie rozumiem, ale żeby było śmieszniej w odwrotną stronę wydaje mi się to logiczne. Tzn.:
a) co najmniej jeden chłopiec = co najwyżej 2 dziewczyny, czyli:

same chłopaki i 0 dziewczyn:
\(\displaystyle{ {6\choose3}}\)

2 chłopaków i 1 dziewczyna:
\(\displaystyle{ {6\choose2}\cdot{4\choose1}}\)
^te dwa powyższe podpunkty biorą się oczywiście z podpunktu b)^

1 chłopak i 2 dziewczyny:
\(\displaystyle{ {6\choose1}\cdot{4\choose2}}\)

Niby to samo, a dla mojego mózgu jakby coś innego . Zauważ, że w b), które jest od innej strony (co najwyżej) moje rozumowanie było od początku dobre i od razu rozważałem na przypadkach. Nieodgadnione są nasze połączenia neuronowe ;P.
Cóż. Po prostu jak nie wychodzi od przodu, to trzeba próbować od tyłu, chyba nic mądrzejszego na to zadanie nie wymyślę.
Jeszcze raz dzięki za pomoc i tłumaczenie.
ODPOWIEDZ