Prawdopodobieństwo klasyczne - ciekawsze zadanie

[Flawiusz]

Każdą z n jednakowej długości pałeczek podzielono na dwie części, przy czym żadne dwie części nie są tej samej długości. Otrzymane w ten sposób 2n części łączymy znów w pary. Jakie jest prawdopodobieństwo, że do każdej dłuższej części zostanie dołączona krótka część ?

[geronimo]

Przestrzeń \(\displaystyle{ \Omega}\) stanowią podziały \(\displaystyle{ 2n}\) elementów na pary.

\(\displaystyle{ \left| \Omega\right| = \frac{{2n \choose 2} {2n-2 \choose 2} {2n-4 \choose 2} \ldots {2 \choose 2}}{n!}= \frac{(2n)!}{ 2^{n} n! }}\)

\(\displaystyle{ \left| A\right| = \frac{n^{2} (n-1)^{2} \ldots 1^{2}}{n!}=n!}\)

zatem \(\displaystyle{ P(A)= \frac{(n!)^{2} 2^{n}}{(2n)!}}\)