Pary małżeńskie

[author]

Mamy 2N osób, które stanowi N par małżeńskich. Wybieram losowo 2k osób.

Jakie jest prawdopodobientwo, ze wsrod wybranych osób jest m par małżenskich?

Te zadanie mnie wkurza Na zajeciach mielismy je zle rozwiazane, a i sam nie moge dojsc do rezultatu. Prosze o pomoc.

[soliter]

Jest duże prawdopodobieństwo, że to rozwiązanie poniżej jest błędne.
2k ludzi możemy wybrać spośród 2N osób na \(\displaystyle{ {2N\choose 2k}}\). Mamy mianownik:
\(\displaystyle{ P=\frac{...}{{2N\choose 2k}}}\)
Policzymy teraz, na ile sposobów można wybrać 2k ludzi przy danych założeniach.
No więc najpierw wybieramy m par małżeńskich z N par małżeńskich:
\(\displaystyle{ P=\frac{{N\choose m}\cdot...}{{2N\choose 2k}}}\)
Teraz z pozostałych par (N-m) wybieramy takie pary (zostało do wybrania 2k-2m ludzi z różnych par), z których będziemy "ciągnąc" po jednym osobniku.
\(\displaystyle{ P=\frac{{N\choose m}\cdot {N-m\choose 2k-2m}\cdot...}{{2N\choose 2k}}}\)
Decydujemu jeszcze o płci tych osób:
\(\displaystyle{ P=\frac{{N\choose m}\cdot {N-m\choose 2k-2m}\cdot 2^{2k-2m}}{{2N\choose 2k}}}\)
Widać, że N-m musi być większe bądź równe 2k-2m, co po chwili zastanowienia rzeczywiście wydaje się być logiczne.
POzdrawiam,
Soliter
Zobaczcie, która godzina Taki młody, powinienem spać.

[author]

nie wiem, ale ten srodkowy symbol Newtona jakos dziwnie wyglada... bo ciagniemy ludzi z par... tzn. z N-m par losujemy pojedynczych ludzi 2k-2m to liczba osob ktore zostaja juz po wybraniu tych szukanych m par. Jakos mi bardziej pasowaloby, ze sposrod (2N-2m) ludzi, ktorzy zostaja wybieramy (2k-2m) ludzi... czy tak moze byc?

[soliter]

Nie może być, tak jak mówisz, ponieważ wtedy moglibyśmy wylosować parę. Skoro pozostało 2k - 2m ludzi, to przecież muszą oni być z różnych par! Więc musi zostać jeszcze tyle par. Więc wybieramy te pary, a następnie płeć. Wiem, że to dziwnie wygląda, ale jest w pełni kominatoryczne i logiczne. Najlepiej niech jakiś spec od kobinatoryki się wypowie. GDyby 2k-2m > N-m, to oznaczałoby że tak wielu pojedynczych osobników, z których żaden nie należy do pary wylosować się nie da, tzn. nie możemy wylosować takiej małej ilości par i P=0.
Weź na przykład liczby 2n=60, 2k=40 i m=5
\(\displaystyle{ P=\frac{{N\choose m}\cdot {N-m\choose 2k-2m}\cdot 2^{2k-2m}}{{2N\choose 2k}}}\)

[author]

Nie może być, tak jak mówisz, ponieważ wtedy moglibyśmy wylosować parę. Skoro pozostało 2k - 2m ludzi, to przecież muszą oni być z różnych par! Więc musi zostać jeszcze tyle par. Więc wybieramy te pary, a następnie płeć. Wiem, że to dziwnie wygląda, ale jest w pełni kominatoryczne i logiczne. Najlepiej niech jakiś spec od kobinatoryki się wypowie. GDyby 2k-2m > N-m, to oznaczałoby że tak wielu pojedynczych osobników, z których żaden nie należy do pary wylosować się nie da, tzn. nie możemy wylosować takiej małej ilości par i P=0.
Weź na przykład liczby 2n=60, 2k=40 i m=5
\(\displaystyle{ P=\frac{{N\choose m}\cdot {N-m\choose 2k-2m}\cdot 2^{2k-2m}}{{2N\choose 2k}}}\)

od sceptycyzmu do rozumienia... dziekuje Ci!