wagony:(

tomekbobek · Post autor: **tomekbobek** » 26 lis 2005, o 20:05

Prosze o pomoc bo tych zadanek z waganami to nic nie obczajam:(

1. Szesciu pasazerow wsiada do tramwaju zlozonego z 3 wagonow. Kazdy losowo wybiera wagon. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze pasazerowie znajda sie tylko w 2 wagonach?

2. Pieciu pasazerow wsiada do pustego tramwaju zlozoneg z trzech wagonow, przy czym kazdy wybiera losowo wagon. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze przynajmniej jeden wagon zostanie pusty?

3. Do pustego tramwaju zlozonego z trzech wagonow wsiada 6 pasazerow, przy czym kazdy wybiera losowo wagon. Jakie jest prawdopodobienstwo ,ze
a) do kazdego wagonu wsiadzie dwoch pasazerow
b) do kazdego wagonu wsiadzie trzech pasazerow

Janek Kos · Post autor: **Janek Kos** » 27 lis 2005, o 00:48

tomekbobek pisze: 2. Pieciu pasazerow wsiada do pustego tramwaju zlozoneg z trzech wagonow, przy czym kazdy wybiera losowo wagon. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze przynajmniej jeden wagon zostanie pusty?

To zadanie jest w zasadzie identyczne jak dwa pozostałe, więc jeśli zrozumiesz sposób rozwiązania tego, to z pozostałymi nie będziesz miał problemu.

Prawdopodobieństwo przynajmniej jeden pusty raczej lepiej jest rozważać jako 1 - wszystkie pełne, co jest sobie równoważne.

Zacznijmy od Ω . Jeżeli mamy pięciu pasażerów i każdy może dokonać wyboru jednego z trzech wagonów, to razem będzie tego \(\displaystyle{ {3}^5}\) wyborów, co daje nam omegę. Teraz oznaczmy sobie wagony literkami a,b i c odpowiednio. Będziemy szukali na ile sposobów 5 pasażerów może wsiąść do 3-wagonowego tramwaju, tak aby żaden wagon nie został pusty. Można myśleć o tym tak, jak o tworzeniu 5 literowych wyrazów z liter a,b i c z wykorzystaniem każdej litery. Przykład : aaabc - znaczy, że w pierwszym wagonie siedzą trzy osoby, w drugim jedna i w trzecim też jedna; baaac - znaczy jedna w pierwszym, trzy w drugim i jedna w ostatnim. A ściślej mówiąc, to abaac, znaczy również tyle, że w pierwszym siedzą trzy osoby, w drugim jedna i w trzecim jedna, tylko że tu pierwsza osoba wybrała wagon a, druga wagon b, trzecia i czwarta ponownie wagon a i piąta wagon c. Dlatego tworzymy te 5-literowe wyrazy. Jeżeli zapełniamy wagony tak aby w jedny były trzy osoby a w pozostałych po jednej, to zgodnie z powyższym wybieramy wagon dla tych trzech - możemy to zrobić na trzy sposoby - i mnożymy razy liczba słów, które możemy stworzyć z układu xxxzy. Czyli - korzystamy ze wzoru na wariację z powtórzeniami\(\displaystyle{ \frac{5!}{3!1!1!}}\), i mamy\(\displaystyle{ 3\frac{5!}{3!1!1!}}\) -możliwości . Wszystkie wagony możemy jeszcze zapełnić tak, by w wybranych dwóch wagona siedziały po dwie osoby i w pozostałym jedna. Znowu dwa wagony z trzech możemy wybrać na trzy sposoby, a słów z układu xxyyz możemy utworzyć \(\displaystyle{ \frac{5!}{2!2!1!}}\), czyli wszystkich możliwości w tym układzie mamy \(\displaystyle{ 3\frac{5!}{2!2!1!}}\). Ostatecznie trzy wagony, tak aby każdy był pełny, możemy zapełnić na \(\displaystyle{ 3\frac{5!}{3!1!1!}+3\frac{5!}{2!2!1!}}\) sposobów. Więc nasze prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ 1-\frac{3\frac{5!}{3!1!1!}+3\frac{5!}{2!2!1!}}{{3}^5}}\).

tomekbobek · Post autor: **tomekbobek** » 11 gru 2005, o 13:15

Dzieki Wielkie, ale w tym zadanku mi cos nie wychodzi:
1. Szesciu pasazerow wsiada do tramwaju zlozonego z 3 wagonow. Kazdy losowo wybiera wagon. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze pasazerowie znajda sie tylko w 2 wagonach?

moc Omegi =3^6
A- zdarzenie polegajace na wejsciu szesiu pasazerow tylko do 2 wagonow.

Z podpowiedzi JANKA KOSA probowalem tak to zrobic:
3* 6!/3!*3! - bo moze byc cos takiego (a,a,a,b,b,b) - 3 mozliwosci * ilosc slow mozliwych do utworzenia
3*6!/5!*1 - (a,a,a,a,a,b)
3* 6!/4!*2! - (a,a,a,a,b,b)

czyli moc(A) = 3* 6!/3!*3! +3*6!/5!*1 +3* 6!/4!*2!= 123
a P(A)= 123/729

gdzie popelnilem blad?? Prosze o pomoc.

soliter · Post autor: **soliter** » 11 gru 2005, o 16:14

\(\displaystyle{ P=\frac{{3\choose 2}\cdot 2^6}{3^6}}\)
Wybieramy dwa wagony, każdy p. ma 2 możliwości.

tomekbobek · Post autor: **tomekbobek** » 11 gru 2005, o 18:13

tak wychodzi 64/243 a ma wyjsc 62/443. Cos jeszcze jest zle czy blad w odpowiedziach? z tymi wagonami dam sobie chyba normalnie spokoj. Kiedy mam rozkminiac tak jak podpowiedzial Janek Kos?

tarnoś · Post autor: **tarnoś** » 11 gru 2005, o 19:51

soliter pisze:\(\displaystyle{ P=\frac{{3\choose 2}\cdot 2^6}{3^6}}\)
Wybieramy dwa wagony, każdy p. ma 2 możliwości.

No problem polega na tym że wcale nie każdy pasażer ma do wyboru 2 wagony... Why ? Bo wtedy bierzemy pod uwage nieporzadany przypadek (wszyscy pasażerowie są w pierwszym wagonie lub wszyscy w drugim.

Dlatego należy odrzucić te 2 przypadki czyli dostaniemy:

\(\displaystyle{ P=\frac{{3\choose 2}\cdot (2^6-2)}{3^6}}\)

tomekbobek pisze:a ma wyjsc 62/443.

Jeśli chciałeś napisać 62/243 to wtedy sie zgadza

tomekbobek · Post autor: **tomekbobek** » 11 gru 2005, o 20:17

a no wlasnie o taki wynik mi chodzilo dzieki wielkie:) chociaz tych wagonow to i tak nie obczaje:/

tarnoś · Post autor: **tarnoś** » 11 gru 2005, o 20:39

A czego tu nie obczajać.... jeśli chodzi o to zadanie to masz:

Moc Omegi: Mamy sześciu pasażerów każdy może wybrać jeden z trzech waganów czyli 3*3*3*3*3*3 = 3^6

Moc A: Najpierw wybierasz które dwa wagony mają być zajęte przez pasażerów czyli kombinacja 2 z 3 czyli \(\displaystyle{ {3 \choose 2} = 3}\). Teraz każdy z pasażerów moze wybrać juz tylko jeden z dwóch wagonów, czyli 2*2*2*2*2*2 = 2^6 ale musimy pominąc dwa przypadki czyli takie że kazdy z pasazerów wybrał 1. wagon i taki ze wszyscy wybrali 2. wagon. Stad mamy (2^6 - 2).

Zadanie nr 2 jest bardzo podobne w zasadzie trzeba tylko doliczyć przypadki ze wszyscy znależli sie w jednym z wagonów a wagonów mamy trzy czyli

\(\displaystyle{ P=\frac{{3\choose 2}\cdot (2^5-2) + 3}{3^5}}\) i wszsytko sie zgadza... wykładniki zmienione z 6 na 5 bo w tym zadaniu jest 5 pasazerów.

Zad nr 3.
a) moc A: do pierwszego wagonu wybieramy 2 pasazerów z 6, do drugiego 2 z 4 (bo 2 juz siedzi) a do trzeciego wskakuje reszta, czyli
\(\displaystyle{ {6 \choose 2} {4 \choose 2} {2 \choose 2}}\)

moc Omegi taka jak w zad 1

Czyli prawdop. to jakies 10/81

b) ten podpunkt jest bezsensu bo jak jest 6 pasazerów to najpierw musza sie rozmnożyć zeby do 3 wagonow weszlo po 3 pasazerów

tomekbobek pisze:chociaz tych wagonow to i tak nie obczaje:/

po to jest to forum zebys mógł obczaić.... jak nadal czegos nie rozumiesz to pisz

pozdrawiam

tomekbobek · Post autor: **tomekbobek** » 13 gru 2005, o 13:31

O Panie:D:D Wielki jestes Dzieki bardzo, wreszcie to pojalem

Promilla · Post autor: **Promilla** » 8 maja 2013, o 17:59

odkopuję taki staty temat, ponieważ nie rozumiem dlaczego w zadaniu 3. pkt. a) nie bierzemy pod uwagę uporządkowania wagonów.
znaczy się ja bym to zrobiła tak że moc A to \(\displaystyle{ {6 \choose 2} \cdot 3 \cdot {4 \choose 2} \cdot 2 \cdot {2 \choose 2}}\) jako że pierw wybieram 2 osoby z sześciu i "wkładam" do jedengo z trzech wagonów, itd.
Wiem, że moje rozumowanie jest złe ale nie wiem w którym miejscu. . .

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 8 maja 2013, o 21:00

To bywa problematyczne.

Przyjmując, że wagony mają numery \(\displaystyle{ I;II;III}\), a pasażerowie to \(\displaystyle{ 1;2;3;4;5;6}\)
dostaniemy właśnie tak jak Ty przyjmujesz.

Bo parę \(\displaystyle{ (1;2)}\) możemy umieścić na trzy sposoby : \(\displaystyle{ (1;2;I);(1,2;II);(1,2;III)}\)

Promilla · Post autor: **Promilla** » 8 maja 2013, o 22:34

piasek101 pisze:To bywa problematyczne.

Przyjmując, że wagony mają numery \(\displaystyle{ I;II;III}\), a pasażerowie to \(\displaystyle{ 1;2;3;4;5;6}\)
dostaniemy właśnie tak jak Ty przyjmujesz.

Bo parę \(\displaystyle{ (1;2)}\) możemy umieścić na trzy sposoby : \(\displaystyle{ (1;2;I);(1,2;II);(1,2;III)}\)

czyli poprawne są dwa rozwiązania, zależnie od interpretacji treści zadania?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 9 maja 2013, o 19:22

Wg mnie tak.