prawdopodobienstwo klasyczne
-
ciekawy
prawdopodobienstwo klasyczne
Ze zbioru {1,2...,n} tworzymy wszystkie trojwyrazowe ciagi o wyrazach nalezacych do tego zbioru. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze wybrany losowo jeden taki ciag bedzie monotoniczny?
-
drunkard
- Użytkownik
- Posty: 204
- Rejestracja: 6 kwie 2005, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 23 razy
prawdopodobienstwo klasyczne
Wszystkich ciągów będzie n(n-1)(n-2) (o ile dobrze zakładam, że bierzemy elementy zbioru "bez zwracania").
Zdarzeń takich, że ciąg będzie monotoniczny jest (dla uproszczenia rozważmy np. n=7) odpowiednio:
a) 5, b) 4, c) 3, d) 2, e) 1 tzn. ciągi:
a) 1,2,... b) 1,3,... c) 1, 4... d) 1, 5... e) 1,6 ...
Rozpisując dalej w ten sposób wszystkie możliwe ciągi dostajemy:
5 4 3 2 1
- 4 3 2 1
- - 3 2 1 | 1
- - - 2 1 | 1 2
- - - - 1 | 1 2 3
- - - - - | 1 2 3 4
- - - - - | 1 2 3 4 5
W ogólnym przypadku na końcu jest po prostu n-2.
Kreską pionową oddzieliłem ciągi rosnące od malejących.
Teraz zostało tylko to zsumować:
\(\displaystyle{ 2\bigsum_{k=1}^{n-2}(1+2+3+...+k)=\bigsum_{k=1}^{n-2}(1+k)k}\)
Może ktoś to teraz zsumuje (dawno się w to nie bawiłem, nie pamiętam jak to się robi...)
Zdarzeń takich, że ciąg będzie monotoniczny jest (dla uproszczenia rozważmy np. n=7) odpowiednio:
a) 5, b) 4, c) 3, d) 2, e) 1 tzn. ciągi:
a) 1,2,... b) 1,3,... c) 1, 4... d) 1, 5... e) 1,6 ...
Rozpisując dalej w ten sposób wszystkie możliwe ciągi dostajemy:
5 4 3 2 1
- 4 3 2 1
- - 3 2 1 | 1
- - - 2 1 | 1 2
- - - - 1 | 1 2 3
- - - - - | 1 2 3 4
- - - - - | 1 2 3 4 5
W ogólnym przypadku na końcu jest po prostu n-2.
Kreską pionową oddzieliłem ciągi rosnące od malejących.
Teraz zostało tylko to zsumować:
\(\displaystyle{ 2\bigsum_{k=1}^{n-2}(1+2+3+...+k)=\bigsum_{k=1}^{n-2}(1+k)k}\)
Może ktoś to teraz zsumuje (dawno się w to nie bawiłem, nie pamiętam jak to się robi...)