zadanie - gęstość, dystrybuanta

[user0]

Mam ogromna prosbe o pomoc w rozwiazaniu nastepujacego zadania:

Funkcja
\(\displaystyle{ f(x) =left{egin{array}{l} x dla x [0;1) \ 2 - x dla x [1;2)\0 dla pozostalychend{array}
ight.}\)

Sprawdz czy ta funkcja jest gestoscia pewnej zmiennej losowej X (rysujac wykres i obliczajac pole trojkata pod wykresem) oraz naszkicuj dystrybuante.


Zatem o ile pierwsza czesc zadania wydaje sie prosta (wyszlo, ze jest gestoscia - prosze mnie poprawic, jesli sie myle!), o tyle nie wiem jak zabrac sie za wykres dystrybuanty /:

[abrasax]

Funkcja jest gęstością, gdy
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1}\)
W tym przypadku
\(\displaystyle{ \int_0^1xdx+\int_1^2(2-x)dx=1}\)

Wyznaczamy dystrybuantę:
\(\displaystyle{ 1) x [0,1) F(x)=int_0^xydy}\)
\(\displaystyle{ 2) x [1,2) F(x)=int_0^1ydy+int_1^x(2-y)dy}\)
\(\displaystyle{ 3) x q2 \ F(x)=\int_0^1ydy+\int_1^2(2-y)dy+\int_2^x0dy}\)

Obliczamy całki i rysujemy wykresy w poszczególnych przedziałach.

[user0]

Dziekuje za szybka odpowiedz, lecz niestety jestem stworzeniem zupelnie niecalkowalnym /:
Juz wyjasniam skad ta wzmianka o trojkacie (bo chodzi mi o rozwiazanie bez uzycia calek).

Otoz mamy przykladowo inna funkcje: � x dla [0;2] i 0 dla pozostalych. Po narysowaniu wykresu otrzymujemy trojkat prostokatny (pod wykresem znaczy), ktorego pole = 1 (zatem funkcja jest gestoscia). I przechodzimy do dystrybuanty P(x ≤ a) --> podstawe wspomnianego trojkata oznaczamy 'a' i liczymy pole trojkata o podstawie polowe krotszej od duzego trojkata. Po podstawieniu pole malego trojkata = � a�. Tym sposobem otrzymuje wzor na dystrybuante w przedziale [0;2] ?

I chodzi o to, ze teraz taki trik przydalby sie dla tej funkcji z 2 przedzialami. Oraz czy to w ogole ma sens i czy jest prawda [;

[abrasax]

Pewnie można i w ten sposób. Gdy będziesz liczył drugi przedział po prostu dodaj do niego pole trójkąta z pierwszego przedziału.