własności rozkładu gamma

[kangurmk]

Udowodnij poniższe własności rozkładu gamma:
1) \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n}G_{j}(\lambda, _{j}) = G(\lambda, \sum_{j=1}^{n}\alpha_{j})}\)
2) \(\displaystyle{ \alpha G(\lambda, ) = G( \frac{\lambda}{\alpha}, )}\)

gdzie \(\displaystyle{ G(\lambda, ) = \frac{\lambda^{\alpha}x^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}}\) - tak podał wykładowca, jednak wszędzie w literaturze wzór na rozkład gamma wygląda tak: \(\displaystyle{ G(\lambda, ) = \frac{\lambda^{\alpha}x^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}e^{-\lambda x}}\) więc chyba ten drugi trzeba zastosować. Dzięki za jakiekolwiek wskazówki (nie muszą być rozwiązania)

[Emiel Regis]

Funkcja G (ta druga, z literatury) którą napisałeś to jest [prawie, że] gęstość rozkładu gamma. Dziwnie wygląda ten zapis z sumowaniem gęstości... Jak mniemam każde \(\displaystyle{ G_j}\) to zmienna losowa o rozkładzie gamma z parametrami podanymi w nawiasie.

Mam nadzieję, że masz odpowiednią wiedzę z rachunku prawdopodobieństwa gdyż to zadanie nie jest takie całkiem elementarne.

ad 1.
Napisz sobie funkcje charakterystyczne (najlepiej przepisz z tablic) zmiennych o podanych rozkładach gamma. Wymnóż je i zobacz jakiego rozkładu otrzymałeś funkcję charakterystyczną.

ad 2.
Napisz dystrybuantę tej nowej zmiennej przemnożonej przez parametr i znajdz jej rozkład.


No i oczywiście żeby to wszystko miało sens to warto wspomnieć że potrzebujemy tutaj niezależności zmiennych...

[kangurmk]

ad2) Mama obliczyć dystrybuantę tej zmiennej po prawej stronie całkując ją? tzn \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{x} G(\lambda, ) dx}\) podstawiając oczywiście wzór na gęstość zamiast \(\displaystyle{ G(\lambda, )}\), a potem zróżniczkować? Tylko ta całka będzie trochę trudna do policzenia ;] A i co z wzorem który podał wykładowaca, jest ok?

[Emiel Regis]

Da się tutaj uniknać całkowania.

Jedno co mi się tutaj nie podoba to nieformalny zapis tego wszystkiego. Czyli albo wykładowca tak podaje to, że zjada fragmenty albo jest coś źle przepisane.
Żeby to uporządkować wprowadzmy takie oznaczenia:

ad. 2

\(\displaystyle{ X G(\lambda, ) \mbox{ - czyli zmienna X ma rozkład gamma z podanymi parametrami}}\)

Pytamy się o rozkład \(\displaystyle{ Y=\alpha X}\)
Będę chciał zapisać teraz dystrybuantę zmiennej Y za pomocą dystrybuanty zmiennej X.
(alfa jest dodatnim parametrem)

\(\displaystyle{ F_Y(y) = P(Y qslant y) = P(\alpha X qslant y) = P(X qslant \frac{y}{\alpha}) = F_X(\frac{y}{\alpha})\\ \\
f_Y(y)=f_X(\frac{y}{\alpha}) \frac{1}{\alpha}}\)

Gęstość X znamy czyli możesz doliczyć do końca gęstość Y i zobacz czy faktycznie będzie to gęstość rozkładu gamma z odpowiednimi parametrami.

[kangurmk]

Co do drugiego faktycznie to jest dość standardowy sposób na obliczenie rozkładu jakieś nowej zmiennej losowej która jest w jakiś sposób zależna ze "stara" ;]

A co do 1) to po prostu dodałem wykładniki \(\displaystyle{ \alpha_{i}}\) i dostałem f. charakterystyczną która odpowiada temu nowemu rozkładowi. Czyli jeśli funkcje charakterystyczne dwóch rozkładów są identyczne to te rozkłady są identyczne (może niezbyt ściśle powiedziane ;])?
A i czy da się to zrobić jeśli zmienne losowe są zależne?

Dzięki ogromne, muszę wziąć się w końcu za to prawdopodobieństwo bo jak widać rozwiązania są banalne ;], a niedostateczna wiedza teoretyczna uniemożliwia szybkie spostrzeżenie rozwiązań ;]

[Emiel Regis]

1. Dla zmiennych zależnych podane własności nie zachodzą.
2. Tak, istnieje jednoznaczność między funkcjami charakterystycznymi i rozkładami. Natomiast ważniejsze jest tw z jakiego tutaj skorzystałem, bo czemu mnożyłeś te funkcje a nie np dodawaleś?
Otóż gdy zmienne są niezależne to funkcja charakterystyczna sumy to jest iloczyn funkcji charakterystycznych.