Proszę o udowodnienie tych twierdzeń:
Twierdzenie
Niech (X,Y,Z) będzie wektorem losowym. Załóżmy, że wartość oczekiwana EX i EY istnieją. Wówczas:
1. Jeśli X ≥ 0, to E(X|Z) ≥ 0.
2. |E(X,Y)| ≤ E(|X||Z).
3. Dla a,b e R istnieje warunkowa wartość oczekiwana aX+bY oraz E(aX+bY|Z)= a*E(X|Z)+ b*E(Y|Z).
4. Dla dowolnego zdarzenia A zachodzi E(1A|Z)= P(A|Z).
Twierdzenie
Niech (X,Y) będzie wektorem losowym i niech EX istnieje. Wtedy:
1.Gdy h(X) jest ograniczoną zmienną losową, to E[h(X)*Y|Z]= h(X)* E(Y|Z)