Statek i torpeda

[mol_ksiazkowy]

Statek porusza sie z prędkościa stała , po prostej o kierunku wschod-zachod. Co \(\displaystyle{ T}\) minut losuje się kierunek poruszania: z prawdopodonieństwem \(\displaystyle{ p}\) statek porusza się w ciągu nastepnych \(\displaystyle{ T}\) minut na wschód, zaś z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1-p}\) płynie na zachód. W punkcie poza prostą jest łódź podwodna, której zadaniem jest storpedowanie statku. Czas drogi torpedy od punktu wystrzelenia do dowolnego punktu toru statku wynosi \(\displaystyle{ 2T}\) minut. Kapitan łodzi podwodnej zna wartość \(\displaystyle{ p}\) minut i celuje tak, aby prawdopodobieństwo trafienia statku było największe. Jak należy dobrać \(\displaystyle{ p}\) by prawdopodobieństwo storpedowania statku było mozliwie najmniejsze??

[jovante]

Bez straty ogólności załóżmy, że statek wypływa z punktu 0. Po czasie 2T statek znajdzie się w punktach -2, 0 i 2 z prawdopodobieństwem (1-p)(1-p), 2p(1-p) i pp odpowiednio. Teraz wystarczy znaleźć wartość p dla którego wyrażenie max((1-p)(1-p);2p(1-p);pp) przyjmuje najmniejszą wartość, co dzieje się dla p=1/3 lub p=2/3. Prawdopodobieństwo storpedowania statku wynosi wówczas 4/9.