W ciągu 20 lat funkcjonowania firmy liczymy serie przy czym seria jest to każdy ciąg 5 lat chudych sąsiadujących ze sobą. Prawdopodobieństwo roku chudego wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).
Oblicz wartość oczekiwaną liczby serii 5 lat chudych w ciągu 20 lat.
np.
C - rok chudy
G - rok gruby; )
GCCCCCCG - dwie serie
GCGCCCCCGCGC - jedna seria
Wartość oczekiwana liczby serii
-
Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
-
Janek Kos
- Użytkownik
- Posty: 417
- Rejestracja: 20 lis 2005, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 98 razy
Wartość oczekiwana liczby serii
Wartość oczekiwaną raczej liczy się nietrudno, gorzej byłoby z wariancją.
Weźmy sobie zmienną \(\displaystyle{ X_i}\) taką, że:
\(\displaystyle{ X_i= \begin{cases} 1\ \ \text{jesli wystapi C}\ \ p=\frac{1}{2} \\ 0\ \ \ \ \ \ \text{dla G}\ p=\frac{1}{2} \end{cases}\ \ \ \ i=1,2,...,20}\)
Zdefiniujmy sobie zmienną \(\displaystyle{ Y_k}\) w ten sposób, że:
\(\displaystyle{ Y_k= \prod_{i=k}^{4+k}X_i\ \ \ \ k=1,2,...,16}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ Y_k= \begin{cases} 1\ \ \ p=\frac{1}{2^5} \\ 0\ \ \ p=1-\frac{1}{2^5} \end{cases}\ \ \ \ k=1,2,...,16}\)
Zatem \(\displaystyle{ Z= \sum_{k=1}^{16}Y_k}\) jest zmienna opisującą ilość wystąpień serii. Nietrudno policzyć jej wartość oczekiwaną.
Weźmy sobie zmienną \(\displaystyle{ X_i}\) taką, że:
\(\displaystyle{ X_i= \begin{cases} 1\ \ \text{jesli wystapi C}\ \ p=\frac{1}{2} \\ 0\ \ \ \ \ \ \text{dla G}\ p=\frac{1}{2} \end{cases}\ \ \ \ i=1,2,...,20}\)
Zdefiniujmy sobie zmienną \(\displaystyle{ Y_k}\) w ten sposób, że:
\(\displaystyle{ Y_k= \prod_{i=k}^{4+k}X_i\ \ \ \ k=1,2,...,16}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ Y_k= \begin{cases} 1\ \ \ p=\frac{1}{2^5} \\ 0\ \ \ p=1-\frac{1}{2^5} \end{cases}\ \ \ \ k=1,2,...,16}\)
Zatem \(\displaystyle{ Z= \sum_{k=1}^{16}Y_k}\) jest zmienna opisującą ilość wystąpień serii. Nietrudno policzyć jej wartość oczekiwaną.