Z treści zadania - niech:
\(\displaystyle{ A \cup B \cup C = \Omega}\)
\(\displaystyle{ P(B)=2P(A)}\)
\(\displaystyle{ P(C)=3P(A)}\)
\(\displaystyle{ P(A \cap B)=P(A \cap C)=P(B \cap C)}\)
wykaż, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{6} qslant P(A) qslant \frac{1}{4}}\)
Początkowo rozpisywałem coś ze wzoru na \(\displaystyle{ P(A \cup B \cup C)}\), ale wychodziło mi tam szacowanie tylko z prawej strony... Prosiłbym Was więc o pomoc!:-)
Udowodnij nierówność z prawdopodobieństwem
- Janek Kos
- Użytkownik
- Posty: 417
- Rejestracja: 20 lis 2005, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 98 razy
Udowodnij nierówność z prawdopodobieństwem
Pokazuje się to bardzo prosto:
\(\displaystyle{ 1 \geqslant P(B\cup C)=P(B)+P(C)-P(B\cap C)=2P(A)+3P(A)-P(A\cap C) \geqslant 5P(A)-P(A)=4P(A)}\)
stąd, po obustronnym podzieleniu przez 4:
\(\displaystyle{ P(A) \leqslant \frac{1}{4}}\)
By pokazać drugi warunek, wystarczy wziąć:
\(\displaystyle{ 1 \leqslant P(A)+P(B)+P(C)=6P(A)\ \ \ =>\ \ \ P(A) qslant \frac{1}{6}}\)
\(\displaystyle{ 1 \geqslant P(B\cup C)=P(B)+P(C)-P(B\cap C)=2P(A)+3P(A)-P(A\cap C) \geqslant 5P(A)-P(A)=4P(A)}\)
stąd, po obustronnym podzieleniu przez 4:
\(\displaystyle{ P(A) \leqslant \frac{1}{4}}\)
By pokazać drugi warunek, wystarczy wziąć:
\(\displaystyle{ 1 \leqslant P(A)+P(B)+P(C)=6P(A)\ \ \ =>\ \ \ P(A) qslant \frac{1}{6}}\)