Max losowej liczby zmiennych losowych.

[Emiel Regis]

\(\displaystyle{ X_1, X_2, \ldots}\) - niezależne zmienne losowe o rozkładzie \(\displaystyle{ \mathcal{U}[0,1]}\)
\(\displaystyle{ N}\) - zmienna losowa o rozkładzie Poissona, niezależna z \(\displaystyle{ X_1, X_2, \ldots}\)

\(\displaystyle{ M = \begin{cases} max(X_1, \ldots, X_N), \ N>0\\0, \ N=0\end{cases}}\)

I teraz chce znaleźć rozkład zmiennej M.

\(\displaystyle{ 1) \ m < 0 \\ F_M(m) = 0 \\ \\
2) \ m=0 \\ F_M(m) = P(N=0) = e^{-\lambda} \\ \\
3) \ m (0,1) \\ F_M(m) = P(X_1 qslant m \ldots X_N qslant m) = P(X_1 qslant m) \ldots P(X_N qslant m) = m^N \\ \\
4) \ m qslant 1 \\ F_M(m)=1}\)

Jak widać jedyny ciekawy przypadek to trzeci. Można w nim jeszcze coś przekształcić? Nigdy wcześniej się nie bawiłem z rozkładami złożonymi. Jakby tutaj np. znaleźć gęstość części ciągłej rozkładu zmiennej M? Bo N jest zmienną losową to raczej mi nie wypada różniczkować dystrybuanty w obecnej postaci z punktu trzeciego...

[Janek Kos]

Ja bym to robił jak niżej. Nie wiem czy o to chodzi, a jeśli nie, to może chociaż natchnie cię jakąś pozytywną myślą.

Tylko punkt trzeci:

\(\displaystyle{ P(M qslant m|N=n)= \begin{cases} m^n\ \ \text{dla}\ n\in\{1,2,3,...\} \\ 1\ \ \ \ \ \ \text{dla}\ n=0 \end{cases}\ \ \text{oraz}\ \ \ P(N=n)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!}}\)

więc sumuję po n i mam:

\(\displaystyle{ F_M(m)=P(M qslant m)= \sum_{n=1}^{\infty}m^ne^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!}+1\cdot e^{-\lambda}=e^{-\lambda(1-m)}}\)

A to już by się dało różniczkować.

[Emiel Regis]

Bardzo ciekawy pomysł z warunkowaniem. Czy o to chodzi to nie wiem bo nie znam niestety jakichś standardowych algorytmów postępowania w takich zadaniach jednak Twój sposób jest wyjątkowo prosty oraz prowadzi do celu a przeciez o to własnie chodzi.
Z takich kosmetycznych rzeczy to nawet nie musisz \(\displaystyle{ P(M qslant m|N=n)}\) rozbijać na dwa przypadki bo w pierwszym już jest szczesliwie drugi. A co za tym idzie suma też jest zgrabna: \(\displaystyle{ F_M(m)= \sum_{n=0}^{\infty}m^ne^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!}}\)

Podsumowując dla porzadku:
Otrzymalismy rozkład dyskretno-ciągły z atomem w zerze oraz gęstością \(\displaystyle{ f(m) = \lambda e^{\lambda (m - 1)} \mathbf{1}_{(0,1)}(m)}\).

Sprawdzilem i prawdopodobieństwo się ładnie sumuje do 1 także zadanko wygląda że rozwalone; )


Dziękuje za pomoc.