Jakie jest prawdopodobieństwo rozmieszczenia m rozróżnianych listów m ponumerowanych skrytkach tak aby:
a) co najmniej jedna skrytka była pusta
b) co najmniej dwie skrytki były puste
c) dwa ustalone listy znalazły się w różnych skrytkach
rozmieszczanie listów
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 813
- Rejestracja: 6 cze 2007, o 12:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Kąty Wrocławskie
- Pomógł: 206 razy
rozmieszczanie listów
a). \(\displaystyle{ m^m-m!}\)
bo liczymy zdarzenie przeciwne, że żadna nie będzie pusta, czyli w każdej będzie dokładnie jeden list
bo liczymy zdarzenie przeciwne, że żadna nie będzie pusta, czyli w każdej będzie dokładnie jeden list
-
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 25 wrz 2008, o 18:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: W-wa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 6 razy
rozmieszczanie listów
Wszystkich zdarzeń jest \(\displaystyle{ m^{m}}\)
a) Weźmy zdarzenia, że żadna skrytka nie jest pusta, jest ich tyle, co permutacji zbioru m - elementowego \(\displaystyle{ m!}\)
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego wynosi \(\displaystyle{ 1-\frac{m!}{m^{m}}}\)
b) Skorzystamy z wyniku w punkcie a. Od zdarzeń, że co najmniej jedna skrytka jest pusta odejmiemy te, w których dokładnie jedna skrytka jest pusta, czyli wybieramy pustą skrytkę na m sposobów, m - 1 listów permutujemy, a ostatni dorzucamy do którejś z m - 1 skrzynek
Mamy: \(\displaystyle{ (m^{m}-m!) - m!(m-1)}\)
c) List a wrzucamy do skrytki na m sposobów, a list b wrzucamy na m - 1 sposobów. Resztę listów rozmieszczamy dowolnie \(\displaystyle{ m(m-1)m^{m-2}}\)
Pozdrawiam
a) Weźmy zdarzenia, że żadna skrytka nie jest pusta, jest ich tyle, co permutacji zbioru m - elementowego \(\displaystyle{ m!}\)
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego wynosi \(\displaystyle{ 1-\frac{m!}{m^{m}}}\)
b) Skorzystamy z wyniku w punkcie a. Od zdarzeń, że co najmniej jedna skrytka jest pusta odejmiemy te, w których dokładnie jedna skrytka jest pusta, czyli wybieramy pustą skrytkę na m sposobów, m - 1 listów permutujemy, a ostatni dorzucamy do którejś z m - 1 skrzynek
Mamy: \(\displaystyle{ (m^{m}-m!) - m!(m-1)}\)
c) List a wrzucamy do skrytki na m sposobów, a list b wrzucamy na m - 1 sposobów. Resztę listów rozmieszczamy dowolnie \(\displaystyle{ m(m-1)m^{m-2}}\)
Pozdrawiam