rozmieszczanie listów

[robin5hood]

Jakie jest prawdopodobieństwo rozmieszczenia m rozróżnianych listów m ponumerowanych skrytkach tak aby:
a) co najmniej jedna skrytka była pusta
b) co najmniej dwie skrytki były puste
c) dwa ustalone listy znalazły się w różnych skrytkach

[Grzegorz t]

a). \(\displaystyle{ m^m-m!}\)
bo liczymy zdarzenie przeciwne, że żadna nie będzie pusta, czyli w każdej będzie dokładnie jeden list

[marcin_p321]

Wszystkich zdarzeń jest \(\displaystyle{ m^{m}}\)

a) Weźmy zdarzenia, że żadna skrytka nie jest pusta, jest ich tyle, co permutacji zbioru m - elementowego \(\displaystyle{ m!}\)
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego wynosi \(\displaystyle{ 1-\frac{m!}{m^{m}}}\)

b) Skorzystamy z wyniku w punkcie a. Od zdarzeń, że co najmniej jedna skrytka jest pusta odejmiemy te, w których dokładnie jedna skrytka jest pusta, czyli wybieramy pustą skrytkę na m sposobów, m - 1 listów permutujemy, a ostatni dorzucamy do którejś z m - 1 skrzynek
Mamy: \(\displaystyle{ (m^{m}-m!) - m!(m-1)}\)

c) List a wrzucamy do skrytki na m sposobów, a list b wrzucamy na m - 1 sposobów. Resztę listów rozmieszczamy dowolnie \(\displaystyle{ m(m-1)m^{m-2}}\)

Pozdrawiam