losowaniwe losów
-
robin5hood
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
losowaniwe losów
W urnie jest \(\displaystyle{ n}\) losów wygrywających, \(\displaystyle{ m}\) przegrywających, \(\displaystyle{ k}\) upoważniających do dalszej gry, jakie jest prawdopodobieństwo wygranej, losując bez zwracania jeden los, tak, że podczas wylosowania losu upoważniającego losujemy ponownie, udowodnij, że wynik nie zależy od \(\displaystyle{ k}\)?
-
marcin_p321
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 25 wrz 2008, o 18:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: W-wa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 6 razy
losowaniwe losów
Zróbmy przez indukcję ze względu na k.
\(\displaystyle{ k=1}\) z tego \(\displaystyle{ p=\frac{n}{n+m+k}+\frac{k}{n+m+k}(\frac{n}{m+n})= \frac{n}{(n+m+1)}(1+\frac{1}{m+n})=\frac{n}{n+m}}\)
zakładamy, że dla k zachodzi teza zadania.
Dla k+1 mamy wtedy \(\displaystyle{ p'=\frac{n}{n+m+k+1}+\frac{(k+1)n}{(n+m+k+1)(n+m)} = \frac{n}{n+m+k+1}(1+\frac{k+1}{n+m})=\frac{n}{n+m}}\)
Pozdrawiam
\(\displaystyle{ k=1}\) z tego \(\displaystyle{ p=\frac{n}{n+m+k}+\frac{k}{n+m+k}(\frac{n}{m+n})= \frac{n}{(n+m+1)}(1+\frac{1}{m+n})=\frac{n}{n+m}}\)
zakładamy, że dla k zachodzi teza zadania.
Dla k+1 mamy wtedy \(\displaystyle{ p'=\frac{n}{n+m+k+1}+\frac{(k+1)n}{(n+m+k+1)(n+m)} = \frac{n}{n+m+k+1}(1+\frac{k+1}{n+m})=\frac{n}{n+m}}\)
Pozdrawiam