ustawianie filizanek

[marek12]

Jest 6 zestawów składających sie z filizanki i spodka. 2 sa czerwone, 2 białe i 2
zielone. Filizanki ustawiamy losowo w spodkach (jedna na jednym). Znalezc prawd-
podobienstwo tego, ze zadna filizanka nie stoi na spodku tego samego koloru.

[robin5hood]

Prawdopodobieństwo, tego, że filiżanka stoi na swoim spodku:
\(\displaystyle{ \frac{1}{6}\cdot \frac{2}{6}=\frac{2}{36}}\)
Prawdopodobieństwo tego, że jakaś filiżanka stoi na swoim spodku:
\(\displaystyle{ 6\cdot \frac{2}{36}=\frac{12}{36}}\)
Przeciwne do tego (czyli, że żadna nie stoi na swoim spodku)
\(\displaystyle{ 1-\frac{12}{36}=\frac{24}{36}}\)

[kadiii]

Mógłbyś bardziej objaśnić bo nie jestem przekonany - same prawdopodobieństwo wydaje się bardzo duże. Jakbyś mógł wytłumaczyć zarówno krok 1jak i 3(do tego mam najwięcej wątpliwości).

[robertm19]

Wynik na pewno jest zły. Nie jestem pewien ale wyjdzie 1/9.

[Qń]

Rozwiązanie przy naturalnym założeniu, że filiżanki tego samego koloru i spodki tego samego koloru są nierozróżnialne.

Policzmy ile jest wszystkich możliwości. Takich, że czerwone filiżanki stoją na spodkach jednego koloru jest \(\displaystyle{ 3}\), w każdym z trzech wypadków są kolejne \(\displaystyle{ 3}\) możliwości ułożenia pozostałych filiżanek, czyli mamy już dziewięć możliwości. Natomiast takich, że czerwone filiżanki stoją na spodkach różnego koloru jest \(\displaystyle{ 3}\) i w każdej z nich jeszcze są \(\displaystyle{ 4}\) możliwości ułożenia pozostałych filiżanek, czyli w sumie dwanaście, a zatem łącznie \(\displaystyle{ 21}\).

Policzmy teraz ile jest możliwości takich, że żadna filiżanka nie stoi na spodku własnego koloru. Są dwie możliwości, że czerwone filiżanki stoją na spodkach jednego koloru (albo na białych albo na zielonych) i w każdym wypadku ustawienie reszty filiżanek jest wyznaczone jednoznacznie. Dodatkowo jest jedna możliwość, że czerwone filiżanki stoją na spodkach różnego koloru i wtedy też położenie reszty filiżanek jest zdeterminowane. W sumie więc możliwości jest \(\displaystyle{ 3}\).

Stąd szukane prawdopodobieństwo to \(\displaystyle{ \frac{3}{21}=\frac{1}{7}}\)

Q.

[pajong88]

Można to najłatwiej zrobić przez drzewko ustawiasz najpierw dwie czerwone c, później dwie białe b, następnie dwie zielone z i każda z tych filiżanek to jedno pokolenie drzewka. Jeśli nie mogą być na tych samych podstawkach to bierzesz dwie gałązki w pierwszym pokoleniu z lub b. Prawdopodobieństwo każdego z tych jest 1/3. W pierwszych dwóch pokoleniach nie może być c, w drugich dwóch b, w trzecich dwóch z. później dodając wszystkie możliwości wychodzi 1/9 a nie 1/7 czy koleś co tam jeszcze wcześnie napisał przegigant:) Jestem pewien tego na drugi sposób to zrobiłem i tez mi wyszło 1/9. Nie słuchaj tamtych, zrób to przez drzewko i zobaczysz że ci wyjdzie 1/9.

[Qń]

Przy założeniu, że filiżanki i spodki tego samego koloru są rozróżnialne, istotnie wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{9}}\), choć robienie tego za pomocą drzewka jest dość pracochłonne. Natomiast z przyrodniczego punktu widzenia zresztą to może i lepsze założenie.

Q.

[pajong88]

Jeśli tak uważasz, mi miło się rysowało drzewko listki narysowałem tu na jeden gałęzi banan jabło na innej liść marihuany hehe

[Fibik]

Przedmioty zawsze są rozróżnialne.
Np. w kartach dobrze to widać.
Gdy wiemy, że dwóch graczy ma dwa asy (których nam brakuje), to wtedy prawdop. że mają po jednym wynosi 1/2, a nie 1/3.

Tak samo w rzucie parą monet, są tu 4 możliwości:
00, 01, 10, 11, czyli 10 01,
i to trzeba było sprawdzać praktycznie, bo wydedukować raczej trudno...


A jak będzie z tymi filiżankami, gdy zwiększymy liczbę kolorów, powiedzmy że mamy n różnych kolorów, czyli będzie 2n filiżanek i spodków?

[Qń]

Przedmioty zawsze są rozróżnialne.

Parafrazując cytat z książki Jakubowskiego, Sztencla: filiżankom i spodkom tego samego koloru wystarczy teoretyczna możliwość domalowania na nich powiedzmy pieska i kotka, by zachowywały się jak rozróżnialne ;>. Zgoda. Oczywiście są wyjątki w skali mikro na przykład: szczegóły musiałbym sprawdzić (jest w tym bodajże u Kubika), ale mniej więcej chodziło, że statystyki Bosego-Einsteina i Fermiego-Diraca przyjmują inne założenia na temat rozróżnialności cząstek elementarnych, a każda z okazuje się dobrze opisywać różne zjawiska.

Niemniej tak naprawdę określenie "ustawiamy w sposób losowy" jest nieścisłe i mamy prawo do niego dopasować dowolny model - dopiero ów model określa nam czym była ta losowość. Dobrze obrazuje to klasyczny paradoks z "losowym" wyborem cięciwy koła. W naszym wypadku - choć zgodzę się jednak (wycofując się z tego, co napisałem wcześniej) że naturalniej jest wybrać model z rozróżnialnością - mamy prawo uznać, że losowość oznacza nierozróżnialność (kiedy z danych układów wybieramy jeden) oraz że oznacza rozróżnialność (kiedy bierzemy po kolei filiżanki i kładziemy je na spodki).

Q.

[pajong88]

I z tak niepozornego zadanka zrobił się cały wykład o rachunku prawdopodobieństwa:) Cieszę się, że spotykam tu ludzi, którzy rozwiązują zdania z prawdopodobieństwa nie ze wzorów, tylko z logicznego myślenia, takim przykładem jest Qń. Respect dla ciebie przyjacielu.

[Fibik]

Paradoks cięciwy i koła?
Jaki tam paradoks - rzucasz z tysiąc razy zapałkę na to koło, a wtedy przecież wyjdzie jakieś konkretne prawdopodobieństwo, a nie trzy różne.


Realne przedmioty są rozróżnialne, bo nawet gdy są identyczne (np. atomy), to możesz śledzić ich położenie i zawsze będzie wiadomo gdzie dany przedmiot się znajduje.
Problem pojawia się dopiero wtedy, gdy obiekty mogą się przenikać, czyli gdy można postawić dwa dokładnie w tym samym obszarze przestrzeni.
Dotyczy to właśnie fal, a fizyka kwantowa przecież stoi na tych funkcjach falowych i stąd tam te nierozróżnialne 'cząstki'.

[Qń]

Paradoks cięciwy i koła?
Jaki tam paradoks - rzucasz z tysiąc razy zapałkę na to koło, a wtedy przecież wyjdzie jakieś konkretne prawdopodobieństwo, a nie trzy różne.

Najpierw sprecyzuję, a potem spróbuję wyjaśnić, czemu nie masz racji.

Chodzi o tzw. paradoks Bertranda, czyli obliczenie prawdopodobieństwa tego, że losowo wybrana cięciwa koła będzie dłuższa od boku trójkąta równobocznego wpisanego w ten trójkąt. Okazuje się, że określenie "losowo wybrana cięciwa" może być interpretowane na wiele sposobów i w każdej z interpretacji może wyjść inna odpowiedź. W klasycznym sformułowaniu paradoksu przedstawia się trzy możliwe interpretacje, dla których wynik wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}}\). Słyszałem natomiast kiedyś, że na MIMUW-ie była swego czasu praca magisterska, w której opisano jak manipulując interpretacją dojść do dużo większej liczby odpowiedzi.

Twój błąd - jeśli dobrze rozumiem Twoją tezę - polega na tym, że uznajesz iż to przyroda rozstrzyga czym jest "losowy wybór cięciwy" i wystarczy przeprowadzić eksperyment, żeby jasno stwierdzić, która interpretacja jest właściwa. Sęk tylko w tym, że wybierając jak chcesz przeprowadzić ten eksperyment, autorytatywnie wybierasz też interpretację. Dlaczego bowiem chcesz rzucać zapałkę (czyli losować prostą), a nie na przykład ziarnko maku (czyli losować środek cięciwy)? W obu wypadkach przecież cięciwa będzie wyznaczona jednoznacznie, a wynik wyjdzie inny.

Oczywiście w przypadku zjawisk ze skończoną liczbą możliwych wyników doświadczenia, intuicja podpowiada (w przeciwieństwie do powyższego paradoksu) jaki model wybrać i faktycznie raczej milcząco się zakłada, że "losowe stawianie filiżanek na spodkach" to branie po jednej filiżance i stawianie jej na którymś spodku (wtedy istotnie wszystko jest rozróżnialne). Jeśli jednak nie jest to jasno powiedziane w zadaniu, nie można się przyczepić do wybrania modelu, w którym przedmioty są nierozróżnialne, czyli potraktowania zadania jako:
Rozważmy zbiór sześcioliterowych wyrazów o dwóch literach B, dwóch literach C i dwóch literach Z. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany wyraz z tego zbioru różni się na każdym miejscu od CCBBZZ?
Łatwo sprawdzić jak jest analogia z zadaniem i łatwo zauważyć, że w tym modelu zakładamy nierozróżnialność. A doświadczenie (czyli "losowe ustawianie") traktujemy nie jako branie po jednej filiżance, tylko jako wybór jednego z możliwych ustawień.

Q.

[Fibik]

Z ziarnami maku to samo wyjdzie, ale do wyznaczenia cięciwy kierunek jest konieczny: wyróżniasz jedną średnicę ziarna i później ona wyznacza kierunek na płaszczyźnie.
W tym przypadku wychodzi: p = 1/2.

Brak jakichkolwiek ekstra warunków oznacza, że rozkład ziaren ma być po prostu jednostajny - dotyczy to położenia i kierunku.

Jeśli przywiążesz jeden koniec zapałki do koła, to wtedy będzie inaczej, ale to jest przecież inne doświadczenie - z ograniczeniem swobody.

Liter i dowolne symbole, też są rozróżnialne - co dość łatwo można sprawdzić praktycznie, oczywiście.

[Qń]

Z ziarnami maku to samo wyjdzie, ale do wyznaczenia cięciwy kierunek jest konieczny

Po pierwsze: jeśli losujemy punkt, który traktujemy jako środek cięciwy, to nie musimy losować nic więcej (w szczególności kierunku), bo środek cięciwy wyznacza ją jednoznacznie (wyjąwszy przypadek, że punkt jest środkiem koła, ale ten można pominąć, bo prawdopodobieństwo trafienia w środek koła jest równe zero).
Po drugie: jeśli przyjmiemy w naturalny sposób, że rozkład ma być jednostajny, to okaże się, że żądane prawdopodobieństwo będzie równe \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) (bo dobre są tylko punkty z koła o promieniu \(\displaystyle{ \frac{r}{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ r}\) jest promieniem całego koła). Czyli nie wyjdzie to samo.

W tym przypadku wychodzi: p = 1/2.

A już zupełnie inną sprawą jest jak opisać model z zapałką - można na przykład tak, że środek zapałki jest punktem cięciwy (zakładamy, że zawsze wpadnie wewnątrz koła) a kierunek tej cięciwy to kierunek zapałki. Wtedy chodzi nam po prostu o rozkład jednostajny na walcu \(\displaystyle{ \{ (x,y,z) \ : \ x^2+y^2 \leq r^2 , \ 0 \leq z \leq \pi \}}\), prawdopodobieństwa policzyć się nie podejmuję (trzeba dla pasujących nam wyników uzależnić \(\displaystyle{ z}\) od \(\displaystyle{ x,y}\) i policzyć z niego całkę podwójną po naszym kole), ale intuicja mi mówi, że nie będzie to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).

Niezależnie jednak od dokładnego wyniku, konkluzja jest taka: możemy najpierw sami ustalić co znaczy "losowy wybór cięciwy" i następnie zgodnie z ustaleniem zrobić doświadczenie praktyczne, ale nie da się zrobić tak by jakiekolwiek doświadczenie praktyczne samo z siebie rozstrzygnęło co znaczy "losowy wybór cięciwy".

Liter i dowolne symbole, też są rozróżnialne

Twierdzisz zatem, że istnieją dwa różne słowa dwuliterowe składające się tylko z liter \(\displaystyle{ A}\)? :>
(Aczkolwiek analogia akurat wyszła mi chybiona, bo miejscami mamy rozróżnialność naczyń, a miejscami nie, więc z niej się akurat wycofuję)

Q.