Wartość oczekiwana

[jagoda_math]

gracze A,B,C,D grają w następująca grę. Każdy z graczy wpłaca do puli 60 zł i obstawia orła lub reszkę. Następnie wykonuje się rzut monetą i pula dzielona jest po równo między graczy, którzy trafnie obstawili wynik rzutu monetą.
Gracz A zawsze obstawia orła. Gracze B i C zawsze obstawiają reszkę. Gracz D obstawia orła lub reszkę z jednakowym prawdopodobieństwem. Wyznaczyć wartość oczekiwane netto(tzn. po odliczeniu kwoty wpłaconej do puli) każdego z graczy w jednej rozegranej grze.
Z góry dziękuje za pomoc

[Janek Kos]

Wygrane graczy, opisują zmienne losowe, które przedstawię w tabelce (piszę wygraną, przed odliczeniem postawionej kwoty):

Dla gracza A, który obstawia zawsze orła mam:

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x_i & 0 & 240 & 120 & 80 & 60 \\ \hline p_i & $\frac{1}{2}$ & $\frac{1}{4}$ & $\frac{1}{4}$ & 0 & 0 \\ \hline\end{tabular}}\)

Czyli wygrywa 0, gdy wypadnie reszka, wygrywa 240, gdy wypadnie orzeł, a gracz D obstawił reszkę, wygrywa 120, gdy razem z graczem D obstawili orła. Prawdopodobieństwa zdarzeń się mnożą, stąd taki rozkład.

Po odjęciu postawionej kwoty mam:

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x_i & -60 & 180 & 60 & 20 & 0 \\ \hline p_i & $\frac{1}{2}$ & $\frac{1}{4}$ & $\frac{1}{4}$ & 0 & 0 \\ \hline\end{tabular}}\)

Tych dwóch ostatnich wartości w tabelce można nie pisać, ponieważ mają zerowe prawdopodobieństwo. Wartość oczekiwana wygranej gracza A, wynosi:

\(\displaystyle{ EX_A=-60\cdot \frac{1}{2}+180\cdot \frac{1}{4}+60\cdot \frac{1}{4}=...}\)

Dla graczy B,C, którzy obstawiają zawsze reszkę, pierwsza tabelka wygląda następująco:

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x_i & 0 & 240 & 120 & 80 & 60 \\ \hline p_i & $\frac{1}{2}$ & 0 & $\frac{1}{4}$ & $\frac{1}{4}$ & 0 \\ \hline\end{tabular}}\)

Dalej liczy się podobnie jak dla gracza A.

[withdrawn]

dlaczego w graczach B,C prawdopodobienstwo dla 240 jest 0, a dla 120 i 80 -> \(\displaystyle{ \tfrac14}\) ?
240 mowi nam,że wypadła reszka,ale u gracz D obstawil orła, wiec wygrana to 240 ale prawdopodobienstwo chyba \(\displaystyle{ \tfrac24}\) ? bo przeciez gracz B i C obstawili reszke,a reszta orła...
a wartosc 120 i 80? hmmm nie mam pojecia!
prosze o pomoc.

[Janek Kos]

dlaczego w graczach B,C prawdopodobienstwo dla 240 jest 0

- bo jesli wypadnie reszka, to podziela sie pieniedzmi, obaj obstawiaja reszke, zaden z nich nie moze wygrac calej puli

a dla 120 i 80 -> 1/4

- bo wypdala reszka, \(\displaystyle{ p= \tfrac12}\) i gracz, ktory obstawia losowo, obstawil orla \(\displaystyle{ p=\tfrac12}\). Szansa takiego zdarzenia, to \(\displaystyle{ \tfrac12\cdot\tfrac12}\)... podobnie dla 80

[withdrawn]

ok;) łapie.