dowód własności

[Rufus90]

Witam. Mój pierwszy post. Opisze krotko sytuacje. Parę dni temu poszedłem do tablicy (III LO) i miałem udowodnić coś takiego

\(\displaystyle{ P[A \cup B | C] = P(A|C) + P(B|C) - P[A \cap B|C]}\)
Po pierwsze chciałbym wiedzieć czy to zdanie jest prawdziwe, prawidłowe i czy nie powinno wyglądać tak:

\(\displaystyle{ P[(A \cup B) |C] = P(A|C)=P(B|C)-P[(A \cap B) |C]}\)

Mam jeszcze jedno pytanie. Czy można to zrobić po prostu na tej zasadzie ze

\(\displaystyle{ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}\)

to każdy z elementów \(\displaystyle{ P(A \cup B)}\) bierzemy jakby pod warunek C i z tego nam wychodzi prawa strona?

Mój nauczyciel twierdzi po prostu ze ten dowód trzeba przeprowadzać na podstawie wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe uwzględniając niezależność zdarzeń, o której jeszcze nie mieliśmy powiedzianego słowa na lekcjach.

Prawdopodobieństwo zacząłem ledwie parę dni temu i mam z nim jeszcze niemałe problemy. Przepraszam za niezbyt spójny post, ale proszę o odpowiedz kogoś kompetentnego.

[Janek Kos]

Nie wiem czy spełniam kryterium twojej prośby, ale postaram się pomóc. Po pierwsze, w treści zadania słowem nie jest wspomniane, że te zdarzenia są niezależne, więc nadużyciem byłoby zakładanie takiej sytuacji. Po drugie, chodzi o zapis:

\(\displaystyle{ P[(A \cup B) |C] = P(A|C)+P(B|C)-P[(A \cap B) |C]}\)

a "dowód" polega na prostych przekształceniach:

\(\displaystyle{ P[(A \cup B) |C] \overset{*}{=}\frac{P[(A \cup B) \cap C]}{P(C)}=\frac{P[(A \cap C) \cup (B\cap C)]}{P(C)}\overset{**}{=}\frac{P(A \cap C)+ P(B\cap C)-P(A\cap C\cap B\cap C)}{P(C)}=\frac{P(A \cap C)+ P(B\cap C)-P(A\cap B\cap C)}{P(C)}\overset{***}{=}\frac{P(A \cap C)+ P(B\cap C)-P\big((A\cap B)\cap C\big)}{P(C)}=\frac{P(A \cap C)}{P(C)}+\frac{P(B\cap C)}{P(C)}-\frac{P\big((A\cap B)\cap C\big)}{P(C)}\overset{*}{=}P(A|C)+P(B|C)-P\big((A\cap B)|C\big)}\)

* - wzór na p-stwo warunkowe,
** - wzór na sumę,
*** - łączność.