Zdarzenie losowe A, B sa niezależne, a ponadto każde z nich ma prawdopodobieństwo rożne od 0 i 1
Niech C będzie zdarzeniem : Zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń A lub B. Dowieść że jeżeli zdarzenia Ai c sa niezależne oraz zdarzenia B i C są niezależne, to P(A)=P(B)
Dowieść równość prawdopodobieństw
-
jagoda_math
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 8 wrz 2008, o 22:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 2 razy
Dowieść równość prawdopodobieństw
Ostatnio zmieniony 10 wrz 2008, o 15:12 przez jagoda_math, łącznie zmieniany 1 raz.
-
Janek Kos
- Użytkownik
- Posty: 417
- Rejestracja: 20 lis 2005, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 98 razy
Dowieść równość prawdopodobieństw
\(\displaystyle{ C=(A\cap B')\cup(B\cap A')}\)
\(\displaystyle{ P(A)P(C)=P(A\cap C)=P\bigg(A\cap \big((A\cap B')\cup (B\cap A')\big)\bigg)=P(A\cap B')=P(A)P(B')}\)
Po podzieleniu stronami przez P(A):
\(\displaystyle{ P(B)=1-P(C)}\)
Wykonując te same rachunki dla zdarzeń B i C, wychodzi:
\(\displaystyle{ P(A)=1-P(C)}\)
A stąd:
\(\displaystyle{ P(A)=P(B)}\)
\(\displaystyle{ P(A)P(C)=P(A\cap C)=P\bigg(A\cap \big((A\cap B')\cup (B\cap A')\big)\bigg)=P(A\cap B')=P(A)P(B')}\)
Po podzieleniu stronami przez P(A):
\(\displaystyle{ P(B)=1-P(C)}\)
Wykonując te same rachunki dla zdarzeń B i C, wychodzi:
\(\displaystyle{ P(A)=1-P(C)}\)
A stąd:
\(\displaystyle{ P(A)=P(B)}\)