Zmienna 2-wymiarowa - zadanie

[luski]

Czy macie pomysł na takie zadanie?

Zmienne losowe X i Y są niezależne i każda z nich ma rozkład geometryczny z parametrem \(\displaystyle{ p= \frac{1}{2}}\). Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej Z = min(X, Y)

edit:

Właściwie ja mam pomysł, tylko że nie wiem, czy nie stworzyłem sam sobie jakiegoś twierdzenia, aby rozwiązać. No bo tak: jak wiadomo, skoro zmienne są niezależne, to:
\(\displaystyle{ F _{X, Y} (x, y) = F _{X}(x) F _{Y}(y)}\), czyli
\(\displaystyle{ P(X P(Y=k)}\)

Ale czy prawdą jest, że:
\(\displaystyle{ P(X=j, Y P(Y P(Y < z) = ft( \frac{1}{2} \right)^z \sum_{k=1}^{z-1} ft( \frac{1}{2} \right)^k = \sum_{k = 1}^{z} \frac{1}{2^k}}\)

[dev_null]

Witam

Ale czy prawdą jest, że:
\(\displaystyle{ P(X=j, Y P(Y z)}\)

A może poszukać dystrybuanty w ten sposób:
\(\displaystyle{ F_Z\left(z\right) = P\left(Z \leqslant z \right) = P \left(min\left(X,Y\right) \leqslant z \right) =
1 - P\left(min\left(X,Y\right)>z\right)=1-P\left(X>z ,Y>z\right)=1-P\left(X>z\right)\cdot P\left(Y>z\right) =1-\left(1-F_X(z)\right)\cdot\left(1-F_Y\left(z\right)\right)}\)
i jeszcze to troszkę uprościć

[luski]

tak masz rację. min a max, co za różnica