Witam, próbuje rozwiązywać zadania przed egzaminem i bardzo proszę o podpowiedź, czy nie popełniam gdzieś błędów.
Zadanie 1. Ile razy należy rzucić kostką, aby z prawdopodobieństwem co najmniej 0,94 zapewnić sobie wyrzucenie przynajmniej 12 szóstek.
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ p=\frac{1}{6}}\) - prawdopodobieństwo wyrzucenia szóstki
\(\displaystyle{ q= \frac{5}{6}}\) - prawdopodobieństwo nie wyrzucenia szóstki
Ilość wyrzuconych szóstek jest zmienną losową \(\displaystyle{ S _{n}}\) o rozkładzie dwumianowym. Korzystając z twierdzenia Moire'a-Laplacea dobieramy n tak, aby zachodziła równość:
\(\displaystyle{ 0,94=P(S _{n} \geqslant 12) = 1-P(S _{n} }\)
\(\displaystyle{ ES _{n}= \frac{n}{6}}\) - wartość oczekiwana
\(\displaystyle{ \sigma S_{n}= \frac{ \sqrt{5n} }{6}}\) - odchylenie standardowe
\(\displaystyle{ 1-P(S _{n} }\)
\(\displaystyle{ \Phi ( \frac{60-n}{ \sqrt{5n}})=0,06}\)
\(\displaystyle{ \frac{60-n}{ \sqrt{5n}}=-1,56}\) (po odczytaniu z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego)
\(\displaystyle{ n-1,56 \sqrt{5n} =60}\)
\(\displaystyle{ n \geqslant 94}\)
Zadanie 2. W pewnej szkole uczy się 500 dzieci. Prawdopodobieństwo, że losowo wybrany uczeń nie czyta lektur wynosi 0,1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba dzieci, które nie czytają lektur różni się od 50 o co najwyżej 10?
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ p=0,1}\) \(\displaystyle{ q=0,9}\) \(\displaystyle{ n=500}\)
\(\displaystyle{ P(40 \leqslant S _{n} \leqslant 60) = P(39,5}\)
Zadanie 3.W pewnej loterii wygrywa co 20 los. Ile losów należy kupić, aby z prawdopodobieństwem 0,95 zapewnić sonie co najmniej 10 losów wygrywających?
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ P(S_n \geqslant 10)=1-P(S_n }\)
\(\displaystyle{ ES_n= \frac{n}{20}}\)
\(\displaystyle{ \sigma S_n=\frac{\sqrt{19n}}{20}}\)
\(\displaystyle{ P(S_n}\)
\(\displaystyle{ \Phi(\frac{200-n}{\sqrt{19n}})=1-0,95=0,05}\) (po odczytaniu z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego)
\(\displaystyle{ \frac{200-n}{\sqrt{19n}}=-1,65}\)
\(\displaystyle{ n=331}\)
Dziękuję za wszelkie sugestie.