Rzucamy niesymetryczną monetą (prawd. wyrzucenia orła wynosi p, reszki 1-p) do momentu otrzymania pierwszego orła. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba wykonanych rzutów będzie nieparzysta?
Będę bardzo wdzięczny choćby za drobną wskazówkę!
Pozdrawiam
Greg
Prawdopodobieństwo - rzut niesymetryczną monetą
-
ap
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 7 mar 2005, o 11:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: T3
- Pomógł: 10 razy
Prawdopodobieństwo - rzut niesymetryczną monetą
Prawdopodobieństwo wyrzucenia orła w pierwszym rzucie - \(\displaystyle{ p}\), w trzecim - \(\displaystyle{ p(1-p)^2}\), w piątym - \(\displaystyle{ p(1-p)^4}\) itd. Co to za ciąg i jaka jest jego suma w granicy?
-
Fibik
- Użytkownik
- Posty: 971
- Rejestracja: 27 wrz 2005, o 22:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 75 razy
Prawdopodobieństwo - rzut niesymetryczną monetą
Orzeł za pierwszym rzutem: p
Dwie reszki i orzeł: (1-p)^2*p = qp, q = (1-p)^2
Cztery reszki i orzeł: q^2*p
...
2n reszek i orzeł: q^n*p
Trzeba teraz to zsumować, dla n od 0 do nieskończoności.
Jest to ciąg geometryczny, a |q| < 1.
Jest taki fajny wzór, prawdziwy dla |x| < 1:
\(\displaystyle{ 1 + x + x^2 + x^3 +... = \frac{1}{1-x}}\)
Zatem, szukane prawdopodobieństwo wynosi:
\(\displaystyle{ P = \bigsum_{k=0}^{\infty}{pq^k} = p\cdot \bigsum_{k=0}^{\infty}{q^k} = \frac{p}{1-q}}\)
Dla zwykłej monety p = 0.5, q = 0.25, czyli mamy: P = 0.5/0.75 = 2/3
Dwie reszki i orzeł: (1-p)^2*p = qp, q = (1-p)^2
Cztery reszki i orzeł: q^2*p
...
2n reszek i orzeł: q^n*p
Trzeba teraz to zsumować, dla n od 0 do nieskończoności.
Jest to ciąg geometryczny, a |q| < 1.
Jest taki fajny wzór, prawdziwy dla |x| < 1:
\(\displaystyle{ 1 + x + x^2 + x^3 +... = \frac{1}{1-x}}\)
Zatem, szukane prawdopodobieństwo wynosi:
\(\displaystyle{ P = \bigsum_{k=0}^{\infty}{pq^k} = p\cdot \bigsum_{k=0}^{\infty}{q^k} = \frac{p}{1-q}}\)
Dla zwykłej monety p = 0.5, q = 0.25, czyli mamy: P = 0.5/0.75 = 2/3