Kolejne zadania brzmią następująco:
1. Zadanie Johna Smitha. W roku 1963 Johnowi Smithowi zadano następujące pytanie: czy trzej ludzie, z których pierwszy chce otrzymać co najmniej jedną szóstkę przy sześciu rzutach kostką, drugi - co najmniej dwie szóstki w dwunastu rzutach, trzeci - co najmniej trzy szóstki w osiemnastu rzutach, mają jednakowe szanse? Zadanie rozwiązał Newton, który pokazał, że pierwszy z tych ludzi ma większe niż drugi, a drugi większe niż trzeci. Otrzymać ten wynik.
2. Zakładamy, że kostka ma \(\displaystyle{ s qslant 2}\) ścianek, z których każda ma jednakowe szanse wypadnięcia. Oznaczmy przez \(\displaystyle{ g(t,n)}\) prawdopodobieństwo, że przy \(\displaystyle{ t}\) rzutach kostką dana ścianka wypadnie mniej niż \(\displaystyle{ n}\) razy. Udowodnić, że:
a.\(\displaystyle{ g(sn,n)}\) maleje ze wzrostem \(\displaystyle{ s}\) dla ustalonego \(\displaystyle{ n}\);
b.\(\displaystyle{ g(sn,n) < 0,5}\);
c.\(\displaystyle{ g(sn,n) 0,5}\) dla \(\displaystyle{ n }\)
------------------------------------------------------------------------------
Ad.1
Chyba robię postępy, bo to nie wydawało mi się dość trudne. Proszę tylko o rzuceniem okiem na moje rozwiązanie i jakby coś zasugerowanie innego rozwiązania.
Pierwszy człowiek:
Prawdopodobieństwo, że nie trafi ani jednej szóstki :
\(\displaystyle{ P(A) = {6 \choose 0} (\frac{1}{6})^{0} (\frac{5}{6})^{6} = \frac{15625}{46656} 0,33}\)
Prawdopodobieństwo, że trafi co najmniej jedną szóstkę:
\(\displaystyle{ P(B) = 1 - P(A) 0.77}\)
Drugi człwowiek:
Prawdopodobieństwo, że nie trafi ani jednej lub jednej szóstki :
\(\displaystyle{ P(A) = {12 \choose 0} (\frac{1}{6})^{0} (\frac{5}{6})^{12} + {12 \choose 1} (\frac{1}{6})^{1} (\frac{5}{6})^{11} = \frac{244140625}{21766782336} + \frac{585937500}{21766782336} 0,38}\)
Prawdopodobieństwo, że trafi co najmniej dwie szóstki:
\(\displaystyle{ P(B) = 1 - P(A) 0.62}\)
Trzeci człowiek:
Prawdopodobieństwo, że nie trafi ani jednej lub jednej lub dwóch szóstek:
\(\displaystyle{ P(A) = {18 \choose 0} (\frac{1}{6})^{0} (\frac{5}{6})^{18} + {18 \choose 1} (\frac{1}{6})^{1} (\frac{5}{6})^{17} + {18 \choose 2} (\frac{1}{6})^{2} (\frac{5}{6})^{16} 0,4}\)
Prawdopodobieństwo, że trafi co najmniej trzy szóstki:
\(\displaystyle{ P(B) = 1 - P(A) 0.6}\)
Ad.2
To zadanie wiem jak zacząć:
A - jednorazowe wypadnięcie danej ścianki
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{s}}\)
\(\displaystyle{ g(t,n)}\) - prawdopodobieństwo, że przy t rzutach dana ścianka wypadnie mniej niż n razy
\(\displaystyle{ g(t,n) = \sum_{k=0}^{n-1} {t \choose k} (\frac{1}{s})^{k} (\frac{s-1}{s})^{t-k}}\)
to więc:
\(\displaystyle{ g(sn,n) = \sum_{k=0}^{n-1} {sn \choose k} (\frac{1}{s})^{k} (\frac{s-1}{s})^{sn-k}}\)
I dalej już nie umiem tego udowodnić, ale to zadanie już nie jest czysto z probabilistyki, więc nie wiem czy mam umieścić to w innym dziale?