Zad. Co jest bardziej prawdopodobne: wygrać z równorzędnym przeciwnikiem:
a. Trzy partie z czterech, czy pięć z ośmiu.
b. Co najmniej trzy partie z czterech czy co najmniej pięć z ośmiu.
c. Co najwyżej \(\displaystyle{ n}\) partii z \(\displaystyle{ 2n}\) czy więcej niż \(\displaystyle{ n}\) spośród \(\displaystyle{ 2n}\) .
d. Nie więcej niż \(\displaystyle{ n}\) partii z \(\displaystyle{ 2n+1}\) , czy więcej niż \(\displaystyle{ n}\) partii z \(\displaystyle{ 2n+1}\) .
--------------------------------------------------------------------------------------
pierwsze dwa podpunkty to chyba wiem jak zrobić:
Ad. a
\(\displaystyle{ 3}\) z \(\displaystyle{ 4}\)
\(\displaystyle{ P(A)={4\choose3}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^1=\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ 5}\) z \(\displaystyle{ 8}\)
\(\displaystyle{ P(B)={8\choose5}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^5\cdot\\left(frac{1}{2}\right)^3=56\cdot\frac{1}{256}=\frac{7}{32}}\)
\(\displaystyle{ P(A)>P(B)}\)
Ad. b
Co najwyżej \(\displaystyle{ 3}\) z \(\displaystyle{ 4}\) czyli, że wygramy \(\displaystyle{ 3}\) lub \(\displaystyle{ 4}\) razy.
\(\displaystyle{ P(A)={4\choose3}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^1+{4\choose4}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^0=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}=\frac{5}{16}}\)
Co najwyżej \(\displaystyle{ 5}\) z \(\displaystyle{ 8}\) czyli, że wygramy \(\displaystyle{ 5,\ 6,\ 7}\) lub \(\displaystyle{ 8}\) razy.
\(\displaystyle{ P(B)={8\choose5}\cdot\left( \frac{1}{2}\right)^5\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3+{8\choose6}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^6\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2+{8\choose7}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^7\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^1+{8\choose8}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^8\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^0=\frac{7}{32}+\frac{7}{64}+\frac{1}{32}+\frac{1}{256}=\frac{93}{256}}\)
\(\displaystyle{ P(B) > P(A)}\)
Ale jak to zrobić na tych literkach to już nie wiem.
Co jest bardziej prawdopodobne?
-
- Użytkownik
- Posty: 78
- Rejestracja: 18 lut 2007, o 17:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 4 razy
Co jest bardziej prawdopodobne?
Ostatnio zmieniony 13 gru 2017, o 02:39 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm . Skaluj nawiasy. Masz przybornik.
Powód: Poprawa wiadomości. Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm . Skaluj nawiasy. Masz przybornik.
- Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
Co jest bardziej prawdopodobne?
a) i b) masz dobrze
w c) idea taka sama tylko już więcej zabawy literkami.
Otóż:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n C^k_{2n} \left (\frac{1}{2} \right)^{2n} >
\sum_{k=n+1}^{2n} C^k_{2n} \left (\frac{1}{2} \right)^{2n}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n {2n \choose k} > \sum_{k=n+1}^{2n} {2n \choose k}}\)
Korzystając z własności symbolu Newtona, mianowicie:
\(\displaystyle{ {n \choose k} = {n \choose n-k}}\)
Widzimy, że po obu stronach wszystko się skraca i zostaje ostatni wyraz po lewej stronie. Czyli większe jest prawdopodobieństwo wygrać co najwyżej połowę partii, niż wygrać więcej niż połowę.
Mam nadzieje ze już jest to czytelne, jeśli nie to rozpisz sobie dokładnie te symbole np, dla \(\displaystyle{ 2n=10}\). Wtedy będzie ładnie widać co się skraca a co nie.
Podpunkt d) identycznie...
Spróbuj sama możne. Jak się nie uda to ja napisze.
w c) idea taka sama tylko już więcej zabawy literkami.
Otóż:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n C^k_{2n} \left (\frac{1}{2} \right)^{2n} >
\sum_{k=n+1}^{2n} C^k_{2n} \left (\frac{1}{2} \right)^{2n}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n {2n \choose k} > \sum_{k=n+1}^{2n} {2n \choose k}}\)
Korzystając z własności symbolu Newtona, mianowicie:
\(\displaystyle{ {n \choose k} = {n \choose n-k}}\)
Widzimy, że po obu stronach wszystko się skraca i zostaje ostatni wyraz po lewej stronie. Czyli większe jest prawdopodobieństwo wygrać co najwyżej połowę partii, niż wygrać więcej niż połowę.
Mam nadzieje ze już jest to czytelne, jeśli nie to rozpisz sobie dokładnie te symbole np, dla \(\displaystyle{ 2n=10}\). Wtedy będzie ładnie widać co się skraca a co nie.
Podpunkt d) identycznie...
Spróbuj sama możne. Jak się nie uda to ja napisze.
Ostatnio zmieniony 13 gru 2017, o 02:50 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Polskie litery.
Powód: Poprawa wiadomości. Polskie litery.
-
- Użytkownik
- Posty: 78
- Rejestracja: 18 lut 2007, o 17:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 4 razy
Co jest bardziej prawdopodobne?
Hmmm..po chwili zaczynam rozumieć o co chodzi
I pewnie, że chce sama zrobić kolejny podpunkt, bo teraz mam chociaż jakieś podstawy, tylko proszę o sprawdzenie czy dobrze:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {2n + 1 \choose k} \left ( \frac{1}{2} \right)^{2n+1} > \sum_{k=n+1}^{2n+1} {2n + 1 \choose k} \left ( \frac{1}{2}\right)^{2n+1}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {2n + 1 \choose k} > \sum_{k=n+1}^{2n+1} {2n + 1 \choose k}}\)
i dalej korzystam analogicznie z tej samej własności
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {2n + 1 \choose 2n+1 - k} > \sum_{k=n+1}^{2n+1} {2n + 1 \choose k}}\)
ale teraz to mi się wszystko skróci i odpowiedź będzie, że to zdarzenie ma jednakowe prawdopodobieństwo?
I pewnie, że chce sama zrobić kolejny podpunkt, bo teraz mam chociaż jakieś podstawy, tylko proszę o sprawdzenie czy dobrze:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {2n + 1 \choose k} \left ( \frac{1}{2} \right)^{2n+1} > \sum_{k=n+1}^{2n+1} {2n + 1 \choose k} \left ( \frac{1}{2}\right)^{2n+1}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {2n + 1 \choose k} > \sum_{k=n+1}^{2n+1} {2n + 1 \choose k}}\)
i dalej korzystam analogicznie z tej samej własności
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {2n + 1 \choose 2n+1 - k} > \sum_{k=n+1}^{2n+1} {2n + 1 \choose k}}\)
ale teraz to mi się wszystko skróci i odpowiedź będzie, że to zdarzenie ma jednakowe prawdopodobieństwo?
- Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
Co jest bardziej prawdopodobne?
Dokładnie tak, brawo! : )
Tylko widzisz, ja pisałem znak \(\displaystyle{ >}\) z tego względu że wcześniej przeliczyłem i wiedziałem, że pierwsze wyjdzie większe. U Ciebie, ponieważ się wszystko skraca to oczywiście powinnaś pisać znak równości pomiędzy stronami.
Tylko widzisz, ja pisałem znak \(\displaystyle{ >}\) z tego względu że wcześniej przeliczyłem i wiedziałem, że pierwsze wyjdzie większe. U Ciebie, ponieważ się wszystko skraca to oczywiście powinnaś pisać znak równości pomiędzy stronami.
Ostatnio zmieniony 13 gru 2017, o 02:47 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Polskie litery.
Powód: Poprawa wiadomości. Polskie litery.
-
- Użytkownik
- Posty: 2372
- Rejestracja: 25 paź 2009, o 11:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 245 razy
Co jest bardziej prawdopodobne?
Przepraszam, że odkopuję, mam pytanie odnośnie tego zadania.
1. Spośród rozegranych \(\displaystyle{ 8}\) partii, najbardziej prawdopodobne jest wygranie \(\displaystyle{ 4}\) partii. bo mamy \(\displaystyle{ 50\%}\) szans na wygranie. Mamy \(\displaystyle{ \frac{4}{8}}\) .
2. Jeżeli wygramy \(\displaystyle{ 3}\) partie z \(\displaystyle{ 4}\) partii to wygramy \(\displaystyle{ 6}\) partii z \(\displaystyle{ 8}\) partii. Mamy \(\displaystyle{ \frac{6}{8}}\) .
3. Porównując \(\displaystyle{ \frac{6}{8}}\) i \(\displaystyle{ \frac{5}{8}}\), "bliżej" do wyniku najbardziej prawdopodobnego czyli \(\displaystyle{ \frac{4}{8}}\) jest \(\displaystyle{ \frac{5}{8}}\) , więc wygranie \(\displaystyle{ 5}\) z \(\displaystyle{ 8}\) jest bardziej prawdopodobne.
Gdzie tutaj intuicja zawodzi? (Oczywiście powyższe rachunki rozumiem).
Bez obliczeń próbowałem rozwiązać to tak:Linka87 pisze:Zad. Co jest bardziej prawdopodobne: wygrać z równorzędnym przeciwnikiem:
a. Trzy partie z czterech, czy pięć z ośmiu.
Ad.a
\(\displaystyle{ 3}\) z \(\displaystyle{ 4}\)
\(\displaystyle{ P(A)= {4\choose3}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^1=\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ 5}\) z \(\displaystyle{ 8}\)
\(\displaystyle{ P(B)={8\choose5}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^5\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3=56\cdot\frac{1}{256}=\frac{7}{32}}\)
\(\displaystyle{ P(A)>P(B)}\)
1. Spośród rozegranych \(\displaystyle{ 8}\) partii, najbardziej prawdopodobne jest wygranie \(\displaystyle{ 4}\) partii. bo mamy \(\displaystyle{ 50\%}\) szans na wygranie. Mamy \(\displaystyle{ \frac{4}{8}}\) .
2. Jeżeli wygramy \(\displaystyle{ 3}\) partie z \(\displaystyle{ 4}\) partii to wygramy \(\displaystyle{ 6}\) partii z \(\displaystyle{ 8}\) partii. Mamy \(\displaystyle{ \frac{6}{8}}\) .
3. Porównując \(\displaystyle{ \frac{6}{8}}\) i \(\displaystyle{ \frac{5}{8}}\), "bliżej" do wyniku najbardziej prawdopodobnego czyli \(\displaystyle{ \frac{4}{8}}\) jest \(\displaystyle{ \frac{5}{8}}\) , więc wygranie \(\displaystyle{ 5}\) z \(\displaystyle{ 8}\) jest bardziej prawdopodobne.
Gdzie tutaj intuicja zawodzi? (Oczywiście powyższe rachunki rozumiem).
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
Re: Co jest bardziej prawdopodobne?
Prawdopodobieństwa wygrania \(\displaystyle{ 3}\) partii z \(\displaystyle{ 4}\) partii i \(\displaystyle{ 6}\) partii z \(\displaystyle{ 8}\) partii nie są jednakowe.TheBill pisze:2. Jeżeli wygramy \(\displaystyle{ 3}\) partie z \(\displaystyle{ 4}\) partii to wygramy \(\displaystyle{ 6}\) partii z \(\displaystyle{ 8}\) partii. Mamy \(\displaystyle{ \frac{6}{8}}\) .