Co jest bardziej prawdopodobne?

[Linka87]

Zad. Co jest bardziej prawdopodobne: wygrać z równorzędnym przeciwnikiem:
a. Trzy partie z czterech, czy pięć z ośmiu.
b. Co najmniej trzy partie z czterech czy co najmniej pięć z ośmiu.
c. Co najwyżej \(\displaystyle{ n}\) partii z \(\displaystyle{ 2n}\) czy więcej niż \(\displaystyle{ n}\) spośród \(\displaystyle{ 2n}\) .
d. Nie więcej niż \(\displaystyle{ n}\) partii z \(\displaystyle{ 2n+1}\) , czy więcej niż \(\displaystyle{ n}\) partii z \(\displaystyle{ 2n+1}\) .

--------------------------------------------------------------------------------------
pierwsze dwa podpunkty to chyba wiem jak zrobić:

Ad. a

\(\displaystyle{ 3}\) z \(\displaystyle{ 4}\)
\(\displaystyle{ P(A)={4\choose3}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^1=\frac{1}{4}}\)

\(\displaystyle{ 5}\) z \(\displaystyle{ 8}\)
\(\displaystyle{ P(B)={8\choose5}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^5\cdot\\left(frac{1}{2}\right)^3=56\cdot\frac{1}{256}=\frac{7}{32}}\)

\(\displaystyle{ P(A)>P(B)}\)

Ad. b

Co najwyżej \(\displaystyle{ 3}\) z \(\displaystyle{ 4}\) czyli, że wygramy \(\displaystyle{ 3}\) lub \(\displaystyle{ 4}\) razy.
\(\displaystyle{ P(A)={4\choose3}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^1+{4\choose4}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^0=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}=\frac{5}{16}}\)

Co najwyżej \(\displaystyle{ 5}\) z \(\displaystyle{ 8}\) czyli, że wygramy \(\displaystyle{ 5,\ 6,\ 7}\) lub \(\displaystyle{ 8}\) razy.
\(\displaystyle{ P(B)={8\choose5}\cdot\left( \frac{1}{2}\right)^5\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3+{8\choose6}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^6\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2+{8\choose7}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^7\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^1+{8\choose8}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^8\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^0=\frac{7}{32}+\frac{7}{64}+\frac{1}{32}+\frac{1}{256}=\frac{93}{256}}\)

\(\displaystyle{ P(B) > P(A)}\)

Ale jak to zrobić na tych literkach to już nie wiem.

[Emiel Regis]

a) i b) masz dobrze


w c) idea taka sama tylko już więcej zabawy literkami.

Otóż:

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n C^k_{2n} \left (\frac{1}{2} \right)^{2n} >
\sum_{k=n+1}^{2n} C^k_{2n} \left (\frac{1}{2} \right)^{2n}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n {2n \choose k} > \sum_{k=n+1}^{2n} {2n \choose k}}\)

Korzystając z własności symbolu Newtona, mianowicie:

\(\displaystyle{ {n \choose k} = {n \choose n-k}}\)

Widzimy, że po obu stronach wszystko się skraca i zostaje ostatni wyraz po lewej stronie. Czyli większe jest prawdopodobieństwo wygrać co najwyżej połowę partii, niż wygrać więcej niż połowę.

Mam nadzieje ze już jest to czytelne, jeśli nie to rozpisz sobie dokładnie te symbole np, dla \(\displaystyle{ 2n=10}\). Wtedy będzie ładnie widać co się skraca a co nie.


Podpunkt d) identycznie...

Spróbuj sama możne. Jak się nie uda to ja napisze.

[Linka87]

Hmmm..po chwili zaczynam rozumieć o co chodzi

I pewnie, że chce sama zrobić kolejny podpunkt, bo teraz mam chociaż jakieś podstawy, tylko proszę o sprawdzenie czy dobrze:

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {2n + 1 \choose k} \left ( \frac{1}{2} \right)^{2n+1} > \sum_{k=n+1}^{2n+1} {2n + 1 \choose k} \left ( \frac{1}{2}\right)^{2n+1}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {2n + 1 \choose k} > \sum_{k=n+1}^{2n+1} {2n + 1 \choose k}}\)

i dalej korzystam analogicznie z tej samej własności

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {2n + 1 \choose 2n+1 - k} > \sum_{k=n+1}^{2n+1} {2n + 1 \choose k}}\)

ale teraz to mi się wszystko skróci i odpowiedź będzie, że to zdarzenie ma jednakowe prawdopodobieństwo?

[Emiel Regis]

Dokładnie tak, brawo! : )

Tylko widzisz, ja pisałem znak \(\displaystyle{ >}\) z tego względu że wcześniej przeliczyłem i wiedziałem, że pierwsze wyjdzie większe. U Ciebie, ponieważ się wszystko skraca to oczywiście powinnaś pisać znak równości pomiędzy stronami.

[TheBill]

Przepraszam, że odkopuję, mam pytanie odnośnie tego zadania.

Zad. Co jest bardziej prawdopodobne: wygrać z równorzędnym przeciwnikiem:
a. Trzy partie z czterech, czy pięć z ośmiu.
Ad.a
\(\displaystyle{ 3}\) z \(\displaystyle{ 4}\)
\(\displaystyle{ P(A)= {4\choose3}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^1=\frac{1}{4}}\)

\(\displaystyle{ 5}\) z \(\displaystyle{ 8}\)
\(\displaystyle{ P(B)={8\choose5}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^5\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3=56\cdot\frac{1}{256}=\frac{7}{32}}\)

\(\displaystyle{ P(A)>P(B)}\)

Bez obliczeń próbowałem rozwiązać to tak:
1. Spośród rozegranych \(\displaystyle{ 8}\) partii, najbardziej prawdopodobne jest wygranie \(\displaystyle{ 4}\) partii. bo mamy \(\displaystyle{ 50\%}\) szans na wygranie. Mamy \(\displaystyle{ \frac{4}{8}}\) .
2. Jeżeli wygramy \(\displaystyle{ 3}\) partie z \(\displaystyle{ 4}\) partii to wygramy \(\displaystyle{ 6}\) partii z \(\displaystyle{ 8}\) partii. Mamy \(\displaystyle{ \frac{6}{8}}\) .
3. Porównując \(\displaystyle{ \frac{6}{8}}\) i \(\displaystyle{ \frac{5}{8}}\), "bliżej" do wyniku najbardziej prawdopodobnego czyli \(\displaystyle{ \frac{4}{8}}\) jest \(\displaystyle{ \frac{5}{8}}\) , więc wygranie \(\displaystyle{ 5}\) z \(\displaystyle{ 8}\) jest bardziej prawdopodobne.
Gdzie tutaj intuicja zawodzi? (Oczywiście powyższe rachunki rozumiem).

[SlotaWoj]

2. Jeżeli wygramy \(\displaystyle{ 3}\) partie z \(\displaystyle{ 4}\) partii to wygramy \(\displaystyle{ 6}\) partii z \(\displaystyle{ 8}\) partii. Mamy \(\displaystyle{ \frac{6}{8}}\) .

Prawdopodobieństwa wygrania \(\displaystyle{ 3}\) partii z \(\displaystyle{ 4}\) partii i \(\displaystyle{ 6}\) partii z \(\displaystyle{ 8}\) partii nie są jednakowe.