Dwóch strzelców strzelających do tarczy

[Linka87]

Kolejne zadanko z mojego ukochanego działu ;]

Zad. Dwóch strzelców o jednakowych umiejętnościach strzela kolejno do tarczy. Każdy z nich ma prawo strzelić co najwyżej dwa razy. Strzelec, który pierwszy trafi w cel otrzymuje nagrodę.
a) Jeżeli prawdopodobieństwo trafienia w cel przy pojedynczym strzale wynosi \(\displaystyle{ p = 0,5}\), to czy jest bardziej prawdopodobne, że strzelcy otrzymają nagrodę, czy też nikt jej nie otrzyma?
b) Jaki jest stosunek prawdopodobieństw otrzymania nagrody dla obu strzelców, jeżeli \(\displaystyle{ p = 0,5}\) ? Czemu równa się ten stosunek, jeżeli ilość strzałów nie jest ograniczona?

---------------------------------------------------------------------------------------------------
Napisze swoje przypuszczenia, żeby nie było, że się nie zastanawiam nad zadaniami tylko je ślepo przepisuje.

podpunkt a) oboje dostaną nagrodę jak jeden i drugi trafią w cel za pierwszym razem i jak oboje najpierw przestrzelą i potem oboje trafią za drugim razem

czy mogę to sobie tak rozbić, że:

A - prawdopodobieństwo, że oboje strzelą za pierwszym razem
B - prawdopodobieństwo, że oboje nie strzelą za pierwszym razem
C - prawdopodobieństwo, że oboje strzelą za drugim razem razem

\(\displaystyle{ P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{2} \frac{1}{2} = \frac{1}{4}}\)

prawdopodobieństwo, że oboje dostaną jest sumą \(\displaystyle{ P(A) + P(C/B)}\) ?

czyli \(\displaystyle{ P(C/B) = \frac{P(C \cap B)}{P(B)} = \frac{ \frac{1}{4} }{ \frac{1}{2} } = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ P(A) + P(C/B) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}}\)

ja to zrozumiałam tak, że co jest bardziej prawdopodobne, że oboje tą nagrodę otrzymają lub żaden z nikt jej nie dostanie, ale wtedy liczenie prawdopodobieństwa, że żaden nie dostanie nagrody będzie wyglądało w analogiczny sposób.

i podpunkt b) nie jest dla mnie za bardzo zrozumiały.

[Emiel Regis]

Przepisałaś dokładnie treść zadania?

Wg mnie ono jest niejednoznaczne. Natomiast gdybym je musiał interpretowac to inaczej bym to zrobił od Ciebie, zwróc uwage na zdanie:

"Strzelec, który pierwszy trafi w cel otrzymuje nagrodę."

Przez co zwrot:

"strzelcy otrzymają nagrodę"

rozumiem jako to że trafi którykolwiek z nich.

No to policzmy to.

A - nagrode dostanie strzelec który zaczyna zabawe
B - nagrode otrzyma strzelec który strzela jako drugi

a)
Prawdopodobienstwo że żaden nie dostanie nagrody:

\(\displaystyle{ P((A \cup B)') = ft(\frac{1}{2}\right)^4}\)

Prawdopodobienstwo ze wygra ktorys z nich:

\(\displaystyle{ P(A \cup B) = 1 - ft(\frac{1}{2}\right)^4}\)

b)
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}\) - (trafi za pierwszym razem) lub (nie trafi, konkurent nie trafi, i wtedy trafi za drugim)

\(\displaystyle{ P(B) = \frac{1}{2} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}\) - (pierwszy nie trafi i trafi drugi) lub (pierwszy nie trafi, drugi nie trafi, pierwszy nie trafi, drugi trafi)

\(\displaystyle{ \frac{P(A)}{P(B)}=\ldots}\)

[Linka87]

Treść jest dobrze przepisana i właśnie miałam trochę problemu ze zrozumieniem tego zadania.

czy w podpunkcie a) nie powinno być \(\displaystyle{ P(A \cup B) = 1 - (\frac{1}{2})^{4}}\)?

w miarę rozumiem Twoje rozwiązanie, czy jak będzie nie ograniczona liczba strzałów to będzie to wyglądało w ten sposób:

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2} + ... = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{32} + ...}\)

czyli nieskończony szereg geometryczny i oczywiście drugi strzelec analogicznie powstanie szereg.

[Emiel Regis]

Tak, to literówka, w mianowniku oczywiscie powinna byc dwójka - juz poprawilem.

Słusznie rozumujesz z nieograniczoną liczbą strzałów.

A ponieważ oni pytają o stosunek prawdopodobienstw to nie trzeba nawet sumować tych szeregów tylko wystarczy zauważyć, że jak sie w mianowniku wyciagnie 1/2 przed nawias to wyjdzie:

\(\displaystyle{ \frac{P(A)}{P(B)} = \frac{P(A)}{\frac{1}{2}P(A)} = 2}\)

Czyli ile by tur strzałów nie było to prawdopodobienstwo ze wygra zaczynający zabawę jest zawsze dwa razy większe niż że wygra drugi.


Jeśli coś niejasne to pytaj.

[Linka87]

Teraz już rozumiem całe zadanie Dziękuje.