Kolejne zadanko z mojego ukochanego działu ;]
Zad. Dwóch strzelców o jednakowych umiejętnościach strzela kolejno do tarczy. Każdy z nich ma prawo strzelić co najwyżej dwa razy. Strzelec, który pierwszy trafi w cel otrzymuje nagrodę.
a) Jeżeli prawdopodobieństwo trafienia w cel przy pojedynczym strzale wynosi \(\displaystyle{ p = 0,5}\), to czy jest bardziej prawdopodobne, że strzelcy otrzymają nagrodę, czy też nikt jej nie otrzyma?
b) Jaki jest stosunek prawdopodobieństw otrzymania nagrody dla obu strzelców, jeżeli \(\displaystyle{ p = 0,5}\) ? Czemu równa się ten stosunek, jeżeli ilość strzałów nie jest ograniczona?
---------------------------------------------------------------------------------------------------
Napisze swoje przypuszczenia, żeby nie było, że się nie zastanawiam nad zadaniami tylko je ślepo przepisuje.
podpunkt a) oboje dostaną nagrodę jak jeden i drugi trafią w cel za pierwszym razem i jak oboje najpierw przestrzelą i potem oboje trafią za drugim razem
czy mogę to sobie tak rozbić, że:
A - prawdopodobieństwo, że oboje strzelą za pierwszym razem
B - prawdopodobieństwo, że oboje nie strzelą za pierwszym razem
C - prawdopodobieństwo, że oboje strzelą za drugim razem razem
\(\displaystyle{ P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{2} \frac{1}{2} = \frac{1}{4}}\)
prawdopodobieństwo, że oboje dostaną jest sumą \(\displaystyle{ P(A) + P(C/B)}\) ?
czyli \(\displaystyle{ P(C/B) = \frac{P(C \cap B)}{P(B)} = \frac{ \frac{1}{4} }{ \frac{1}{2} } = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ P(A) + P(C/B) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}}\)
ja to zrozumiałam tak, że co jest bardziej prawdopodobne, że oboje tą nagrodę otrzymają lub żaden z nikt jej nie dostanie, ale wtedy liczenie prawdopodobieństwa, że żaden nie dostanie nagrody będzie wyglądało w analogiczny sposób.
i podpunkt b) nie jest dla mnie za bardzo zrozumiały.
Dwóch strzelców strzelających do tarczy
- Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
Dwóch strzelców strzelających do tarczy
Przepisałaś dokładnie treść zadania?
Wg mnie ono jest niejednoznaczne. Natomiast gdybym je musiał interpretowac to inaczej bym to zrobił od Ciebie, zwróc uwage na zdanie:
"Strzelec, który pierwszy trafi w cel otrzymuje nagrodę."
Przez co zwrot:
"strzelcy otrzymają nagrodę"
rozumiem jako to że trafi którykolwiek z nich.
No to policzmy to.
A - nagrode dostanie strzelec który zaczyna zabawe
B - nagrode otrzyma strzelec który strzela jako drugi
a)
Prawdopodobienstwo że żaden nie dostanie nagrody:
\(\displaystyle{ P((A \cup B)') = ft(\frac{1}{2}\right)^4}\)
Prawdopodobienstwo ze wygra ktorys z nich:
\(\displaystyle{ P(A \cup B) = 1 - ft(\frac{1}{2}\right)^4}\)
b)
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}\) - (trafi za pierwszym razem) lub (nie trafi, konkurent nie trafi, i wtedy trafi za drugim)
\(\displaystyle{ P(B) = \frac{1}{2} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}\) - (pierwszy nie trafi i trafi drugi) lub (pierwszy nie trafi, drugi nie trafi, pierwszy nie trafi, drugi trafi)
\(\displaystyle{ \frac{P(A)}{P(B)}=\ldots}\)
Wg mnie ono jest niejednoznaczne. Natomiast gdybym je musiał interpretowac to inaczej bym to zrobił od Ciebie, zwróc uwage na zdanie:
"Strzelec, który pierwszy trafi w cel otrzymuje nagrodę."
Przez co zwrot:
"strzelcy otrzymają nagrodę"
rozumiem jako to że trafi którykolwiek z nich.
No to policzmy to.
A - nagrode dostanie strzelec który zaczyna zabawe
B - nagrode otrzyma strzelec który strzela jako drugi
a)
Prawdopodobienstwo że żaden nie dostanie nagrody:
\(\displaystyle{ P((A \cup B)') = ft(\frac{1}{2}\right)^4}\)
Prawdopodobienstwo ze wygra ktorys z nich:
\(\displaystyle{ P(A \cup B) = 1 - ft(\frac{1}{2}\right)^4}\)
b)
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}\) - (trafi za pierwszym razem) lub (nie trafi, konkurent nie trafi, i wtedy trafi za drugim)
\(\displaystyle{ P(B) = \frac{1}{2} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}\) - (pierwszy nie trafi i trafi drugi) lub (pierwszy nie trafi, drugi nie trafi, pierwszy nie trafi, drugi trafi)
\(\displaystyle{ \frac{P(A)}{P(B)}=\ldots}\)
Ostatnio zmieniony 4 sie 2008, o 22:40 przez Emiel Regis, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 78
- Rejestracja: 18 lut 2007, o 17:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 4 razy
Dwóch strzelców strzelających do tarczy
Treść jest dobrze przepisana i właśnie miałam trochę problemu ze zrozumieniem tego zadania.
czy w podpunkcie a) nie powinno być \(\displaystyle{ P(A \cup B) = 1 - (\frac{1}{2})^{4}}\)?
w miarę rozumiem Twoje rozwiązanie, czy jak będzie nie ograniczona liczba strzałów to będzie to wyglądało w ten sposób:
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2} + ... = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{32} + ...}\)
czyli nieskończony szereg geometryczny i oczywiście drugi strzelec analogicznie powstanie szereg.
czy w podpunkcie a) nie powinno być \(\displaystyle{ P(A \cup B) = 1 - (\frac{1}{2})^{4}}\)?
w miarę rozumiem Twoje rozwiązanie, czy jak będzie nie ograniczona liczba strzałów to będzie to wyglądało w ten sposób:
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2} + ... = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{32} + ...}\)
czyli nieskończony szereg geometryczny i oczywiście drugi strzelec analogicznie powstanie szereg.
- Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
Dwóch strzelców strzelających do tarczy
Tak, to literówka, w mianowniku oczywiscie powinna byc dwójka - juz poprawilem.
Słusznie rozumujesz z nieograniczoną liczbą strzałów.
A ponieważ oni pytają o stosunek prawdopodobienstw to nie trzeba nawet sumować tych szeregów tylko wystarczy zauważyć, że jak sie w mianowniku wyciagnie 1/2 przed nawias to wyjdzie:
\(\displaystyle{ \frac{P(A)}{P(B)} = \frac{P(A)}{\frac{1}{2}P(A)} = 2}\)
Czyli ile by tur strzałów nie było to prawdopodobienstwo ze wygra zaczynający zabawę jest zawsze dwa razy większe niż że wygra drugi.
Jeśli coś niejasne to pytaj.
Słusznie rozumujesz z nieograniczoną liczbą strzałów.
A ponieważ oni pytają o stosunek prawdopodobienstw to nie trzeba nawet sumować tych szeregów tylko wystarczy zauważyć, że jak sie w mianowniku wyciagnie 1/2 przed nawias to wyjdzie:
\(\displaystyle{ \frac{P(A)}{P(B)} = \frac{P(A)}{\frac{1}{2}P(A)} = 2}\)
Czyli ile by tur strzałów nie było to prawdopodobienstwo ze wygra zaczynający zabawę jest zawsze dwa razy większe niż że wygra drugi.
Jeśli coś niejasne to pytaj.