Totek - 12 liczb

[Linka87]

Losując liczby w totku prawdopodobieństwo, że wygramy to jest \(\displaystyle{ \frac{1}{ {49 \choose 6} }}\) tak?

A co by było jakbyśmy mogli skreślić nie 6, a 12 cyfr w totku. Czyli z 49 liczb losowane są 6, a my mamy możliwość podania 12 liczb.

Taka mała zaglostka, może ktoś pomoże znaleźć mi poprawne rozwiązanie.

[Sylwek]

Nasze szanse wzrastają \(\displaystyle{ {12 \choose 6}}\) razy, gdyż tyle mamy kombinacji na naszym kuponie.

[dr_grucha]

Nie zgodzę się z tym. "Szczęśliwych" kuponów będzie nie \(\displaystyle{ {12 \choose 6}}\), a więcej \(\displaystyle{ {12 \choose 6} {49-6 \choose 6}}\), gdyż "szczęśliwy" kupon zawiera 6 wylosowanych liczb i 6 dowolnych innych (czyli 6 spośród 49-6)

[Sylwek]

Nie bardzo Cię rozumiem, a może po prostu inaczej zrozumieliśmy intencję autorki tematu. Zdaje mi się, że pod pojęciem wygrana chodziło jej o wylosowanie szóstki podczas losowania DL. Wówczas puszczenie kuponu 12-liczbowego jest równoważne z wysłaniem \(\displaystyle{ \binom{12}{6}}\) kuponów zawierających wszystkie kombinacje tych dwunastu liczb, zatem nasze szanse wynoszą \(\displaystyle{ \binom{12}{6} (\binom{49}{6})^{-1}}\).

[dr_grucha]

Prawdopodobieństwo jest stosunkiem ilości zdarzeń sprzyjających do wszystkich zdarzeń. Zdarzeń sprzyjających jest tyle ile jest wszystkich kombinacji zawierających te 6 liczb wylosowanych czyli \(\displaystyle{ {12 \choose 6}{49-6 \choose 6}}\) a wszystkich możliwych zdarzeń jest \(\displaystyle{ {49 \choose 6}}\) więc szanse wzrosną \(\displaystyle{ {12 \choose 6}{49-6 \choose 6}}\) razy.

[Sylwek]

W takim wypadku co jest wg Ciebie dla skreślenia 7 liczb, np. 1,2,3,4,5,6,7, bo ja bez problemu rozpiszę to na dokładnie 7 różnych kuponów. Tak samo jak skreślenie 12 liczb można rozpisać na dokładnie 924 różne kupony, z których tylko jeden ma szanse być tym szczęśliwym.

[dr_grucha]

Faktycznie popełniłem błąd, ale z Tobą i tak się nie zgodzę.Szanse wzrosną \(\displaystyle{ {49-6 \choose 6}}\) razy.

Zauważ, że skreślasz 12 liczb, a tylko 6 jest losowanych, więc te 12 twoich liczb musi zawierać te 6 wylosowanych + 6 dowolnych różnych od tych wylosowanych spośród 49-6 pozostałych, więc wystarczy wyliczyć ile jest możliwości wyboru tych 6 dodatkowych z 43 pozostałych.
Dlatego gdybyś skreślał 7 liczb i wylosowane zostały liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6, to wszystkich kuponów zawierających te liczby byłoby \(\displaystyle{ {49-6 \choose 1}= 43}\) i byłyby to liczby:
1,2,3,4,5,6,7
1,2,3,4,5,6,8
...
1,2,3,4,5,6,49
jest ich właśnie 43. więc szanse są tu zwiększają się 43 krotnie niż jakbyś skreślał tylko 6 liczb, bo wtedy musiałbyś skreślić dokładnie tą jedną wylosowaną.

[Sylwek]

Aha, więc o to Ci chodziło. No to tak, teraz dobrze wyliczasz ilosć zdarzeń sprzyjających, ale przykładowo, dla 7 skreślonych liczb, ilość wszystkich zdarzeń (czyli wszystkich możliwych kuponów - w ten sposób podszedłeś do sprawy) wynosi: \(\displaystyle{ \binom{49}{7}}\), a nie \(\displaystyle{ \binom{49}{6}}\).

[Emiel Regis]

Strasznie kombinujecie...

To nie będzie po prostu

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{\#A}{\# \Omega} = \frac{C^6_6 C^6_{43}}{C^{12}_{49}}}\)

?

[Sylwek]

Będzie, i cały czas staram się przekonać do tego kolegę dr_grucha. Poza tym spójrz na mój pierwszy post - już tam dałem pełną odpowiedź, czyli: \(\displaystyle{ P(A)=\frac{\binom{12}{6}}{\binom{49}{6}}}\) - dokładnie to co Ty, tylko inaczej podszedłem do problemu...

[Emiel Regis]

Racja, nie wczytałem się dokładnie, w takim razie zwracam honor.

[dr_grucha]

Tak mój błąd, teraz to widzę i przepraszam za zamieszanie.